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%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{amsmath}
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{corr}{Corrigé}							% Corrigé
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle
	\newtheorem{modo}{Méthode}							% Méthode
	
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
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	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
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	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
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	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	%\newcommand{\di}{\displaystyle}				% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\pal}{\partial}							% Dérivées partielles
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
	\end{flushright}
	}	
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Mathématiques : Intégration}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%

\begin{center}
\huge \textbf{Sommes de Riemann}
\end{center}
\begin{exo}
\normalfont
\large
\noindent On cherche à calculer $\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n+k^2}{n^3+k^3}$ 
\end{exo}

\begin{corr}
\normalfont
\large
\noindent
On divise cette somme en deux sommes : 
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{n+k^2}{n^3+k^3} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\frac{n^3}{n^3+k^3} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n\cdot k^2}{n^3+k^3}\]
On réarange les deux sommes pour traiter des sommes de Riemann.
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{n+k^2}{n^3+k^3} & = &  \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\frac{n^3}{n^3+k^3} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n\cdot k^2}{n^3+k^3} \\
 & = & \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^3} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^{-2}+\left(\frac{k}{n}\right)}\\
 & = & \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^3}\right)+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^3}\\
\end{eqnarray*}

\noindent On pose $ g : x \longmapsto \frac{1}{1+x^3}$ et $f : x \longmapsto \frac{x^2}{1+x^3}$ et on obtient : 
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{n+k^2}{n^3+k^3} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}g\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\]
On reconnait deux sommes de Riemann, donc : 


\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n+k^2}{n^3+k^3} & = &  \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}g\left(\frac{k}{n}\right)+\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \\
& = & 0 + \int_{0}^{1}\frac{x^2}{1+x^3}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{3x^2}{1+x^3}dx = \frac{1}{3}\ln 2
\end{eqnarray*}
Finalement : 
\[\boxed{\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n+k^2}{n^3+k^3} = \frac{1}{3}\ln 2}\]
\end{corr}

\begin{exo}
\normalfont
\large
\noindent
On cherche à calculer $\lim_{n\to+\infty}\prod_{p=1}^{n}\left(n^2\times p^{-\frac{4p}{n^2}}\right)$.
\end{exo}

\begin{corr}
\normalfont
\large
\noindent
Le plus simple c'est de travailler avec des sommes : 

\begin{eqnarray*}
\ln \left(n^2\times\prod_{p=1}^{n}\left( p^{-\frac{4p}{n^2}}\right)\right) & = & 2\ln n -\frac{4}{n}\sum_{p=1}^{n}\frac{p}{n}\ln p \\
&= & 2\ln n -\frac{4}{n}\sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n}\Big(\ln p-\ln n + \ln n\Big) \\
& = & 2\ln n -4\ln n \left(\frac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}\frac{p}{n} \right)-4\left(\frac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}\frac{p}{n}\ln\left(\frac{p}{n}\right)\right)
\end{eqnarray*}
On reconnait deux sommes de Riemann, posons : $g : x \longmapsto x$ et $f : x \longmapsto x\ln x$ : 
\[\boxed{\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}f\left(\frac{p}{n}\right) = \int_{0}^{1}x\ln x dx = -\frac{1}{4}} \mbox{ et } \boxed{\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}g\left(\frac{p}{n}\right) = \int_{0}^{1}x dx = -\frac{1}{2}} \label{eq1} \tag{$*$}\]

\noindent Passons maintenant aux limites, on utilisera ~\eqref{eq1}: 

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\to+\infty}\ln \left(n^2\times \prod_{p=1}^{n}\left(p^{-\frac{4p}{n^2}}\right)\right)
& = & 2 \lim_{n\to+\infty}\ln n -4 \lim_{n\to+\infty} (\ln n) \times \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}\frac{p}{n} \right)\\
&-&4 \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}\frac{p}{n}\ln\left(\frac{p}{n}\right)\right)\\
& = & 1
\end{eqnarray*}
Finalement, 
\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}n^2\times \prod_{p=1}^{n}\left( p^{-\frac{4p}{n^2}}\right)=e}\]
\end{corr}



\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
