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\newtheorem{Exc}{Exercice}
\newenvironment{Ex}{\begin{Exc}\normalfont}{\end{Exc} }
\newtheorem{corr}{Correction}
\newenvironment{cor}{\begin{corr}\normalfont}{\end{corr} }
\newtheorem{Def}{Définition}
\newenvironment{De}{\begin{Def}\normalfont}{\end{Def} }
\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newenvironment{Pro}{\begin{Prop}\normalfont}{\end{Prop} }
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\newenvironment{Dem}{\begin{Demo}\normalfont}{\end{Demo} }
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

%% DEFINITION ENSEMBLES %%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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%% FIN ENSEMBLES %%

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		\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
		\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
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		\newcommand{\donneP}{\mapsto}
		\newcommand{\ep}{\epsilon}
		\newcommand{\CQFD}{\hfill \blacksquare}
	%% vecteurs %%
		\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%% FIN COMMANDES PERSONNELLES %%

%% NUMEROTATION DES TITRES %%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
%% FIN NUMEROTATION DES TITRES %%


\newcommand{\tete}{
	{\noindent
      \textbf{Mohamed EL BACHIR}     	            %% Auteur
      \hfill Année 2006-2007   \\  	            	%% Année
	}
	{\noindent
      \url{http://rifly01.free.fr}                 	%% Module
      \hfill \textbf{\today}   \\  % Numero de la feuille
	}
	\hrule
	\begin{center} 
	\Large \textbf{ Diagonalisation des matrices carrées }
	\end{center}
	\hrule
	\noindent \\
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEBUT DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\tete

\begin{Ex}
Soit $A$ une matrice carrée donnée par : 
$$A=
\begin{pmatrix}  
 3 & -2  \\  
 1 & 0    
\end{pmatrix} $$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs propres de $A$,
	\item Déterminer les vecteurs propres de $A$,
	\item Ecrire $A$ sous la forme suivante : 
	$$A = PDP^{-1}$$
	\item Calculer $\di A^2, A^{10}$,
	\item Trouver une matrice $B$ telle que $\di B^2=A$,
	\item Ecrire $\di v = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ sous la forme $\di v = a u_{1}+b u_{2}$, $\quad \di (a,b)\in \R^2$
	\item Calculer $\di A^2 v, A^{47} v$.
\end{enumerate}
\end{Ex}

\newpage 
\begin{cor} \noindent \\
\begin{enumerate}
	\item L'équation caractéristique s'écrit : 
	$$\lambda^2-\lambda \mbox{tr}A  + \det A =0$$
	 Donc ici, on a : 
	$$\lambda^2-3\lambda +2 =(\lambda-2)(\lambda-1)=0$$
	Les valeurs propres associées à $ A $ sont $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = 2$.
	\item Cherchons les valeurs propres associées à $A$.
\begin{enumerate}
	\item Pour le premier vecteur on a : 
	\begin{eqnarray*}
	A u_1 = \lambda_1 u_1 & \ssi & \begin{pmatrix}  3 & -2  \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  a \\ b\end{pmatrix} \\
												& \ssi & \left \{ \begin{array}{lll} 3a - 2b & = & a \\ a & = & b \end{array} \right. \\
												& \ssi & \left \{ \begin{array}{lll} a & = & b \\ a & = & b \end{array} \right. 
	\end{eqnarray*}
	Donc $\di u_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
	\item Pour le second vecteur on a : 
	\begin{eqnarray*}
	A u_2 = \lambda_2 u_2 & \ssi & \begin{pmatrix}  3 & -2  \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  a \\ b\end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix}  a \\ b\end{pmatrix} \\
												& \ssi & \left \{ \begin{array}{lll} 3a - 2b & = & 2a \\ a & = & 2b \end{array} \right. \\
												& \ssi & \left \{ \begin{array}{lll} a & = & 2b \\ a & = & 2b \end{array} \right. 
	\end{eqnarray*}
	Donc $\di u_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
	\item La forme cherchée :
		$$A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1  \\ 1 & 2 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0  \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2  \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
		\item On veux calculer $A^2$ et $A^{10}$ : 
\begin{enumerate}
	\item  Pour $\di A^2$, on a : 
	$$A^2=PDP^{-1} PDP^{-1} = PD^2P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1  \\ 1 & 2 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1^2 & 0  \\ 0 & 2^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2  \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
	\item  Pour $\di A^{10}$, on a : 
	$$A^2=PDP^{-1}  ... PDP^{-1} = PD^{10}P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1  \\ 1 & 2 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1^{10} & 0  \\ 0 & 2^{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2  \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
	\end{enumerate}
	\item On cherche $B$ telle que $\di B^2 =A$, donc 
	$$B = \sqrt{A} = P\sqrt{D}P^{-1}$$
	\item On cherche un couple $\di (a,b) \in \R^2$ tel que : 
	$$
	v = au_1+b u_2 \ssi \left\{\begin{array}{lll} a+ 2b & = & 1 \\ a + b & = & 3 \end{array}\right. \ssi  \left\{\begin{array}{lll} a & = & -2 \\ b & = & 5 \end{array}\right.
	$$Donc le couple $\di (-2,5)$ verifie le système.
	\item On cherche à calculer $A^2v$ et $ A^{47}v$.
\begin{enumerate}
	\item On calcule $A^2 v $ :
	\begin{eqnarray*}
	A^2v & = & A^2 (-2u_1+5u_2) \\
			 & = & -2 A (A u_1)+5A (A u_2) \\
			 & = & -2 A (\lambda_1 u_1) + 5 A (\lambda_2 u_2) \\
			 & = & -2\lambda_1 (A u_1)+5\lambda_2 (Au_2) \\
			 & = & -2\lambda_{1}^{2} u_1 + 5\lambda_{2}^{2}u_2
	\end{eqnarray*}
	Donc $\di A^2 v = \begin{pmatrix} 38 \\ 18 \end{pmatrix}$
	\item On calcule $A^{47} v $ :
	\begin{eqnarray*}
	A^{47}v & = &  -2\lambda_{1}^{47} u_1 + 5\lambda_{2}^{47}u_2
	\end{eqnarray*}
	Donc $\di A^{47} v = \begin{pmatrix} 5 \times 2^{48}-2 \\ 5\times 2^{47}-2 \end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{cor}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% FIN DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}