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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{corr}{Corrigé}							% Corrigé
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle
	\newtheorem{modo}{Méthode}							% Méthode
	\newtheorem{Rq}{Remarque}							% Remarque
	
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
	\newcommand{\N}{{\mathbb N}}						% L'ensemble des Entiers
	\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}						% L'ensemble des rationnels
	\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}						% L'ensemble des relatifs
	\newcommand{\C}{{\mathbb C}}						%	L'ensemble des complexes
	\newcommand{\F}{{\mathbb F}}						% L'ensemble F
	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
	\newcommand{\K}{{\mathbb K}}						% L'ensemble K
	
	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	%\newcommand{\di}{\displaystyle}				% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\pal}{\partial}							% Dérivées partielles
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
	\end{flushright}
	}	
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Révisions séries}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%

\begin{center}
\huge \textbf{Révisions séries}
\end{center}


\section{ Pour les séries }
\subsection{Les séries numériques}
\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
\noindent Il faut savoir que : 

\begin{eqnarray*}
\sin\left(\pi\sqrt{1+n^2}\right) & = &  \sin\left[\pi\left(\sqrt{1+n^2}-n\right)+n\pi\right] \\ 
& = & (-1)^n\sin\left[\pi\left(\sqrt{1+n^2}-n\right)\right] \\
& = & (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{1+n^2}+n}\right)
\end{eqnarray*}
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
\noindent Il faut savoir le développement limité des fonctions usuelles : 

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{1-x} & = & 1+x+x^2+...+x^n\eps(x) \\
\left(1+x\right)^{\al} & = & 1+\alpha x+\frac{\al(\al-1)}{2}x^2+...+x^n\eps(x) \\
\ln\left(1+x\right)& = & x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^2-...+x^n\eps(x)
\end{eqnarray*}
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
\noindent Il faut savoir ces manipulations : 
\begin{eqnarray*}
\forall q\neq 1, \sum_{k=0}^{n}q^k & = & \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\
\forall q\neq 1, \sum_{k=k_0}^{n}q^k & = & q^{k_0}\times \frac{1-q^{n+k_0+1}}{1-q} \Longrightarrow \sum_{k=k_0}^{+\infty} q^k =\frac{q^{k_0}}{1-q}\\
\mbox{Si }\lim_{n\to+\oo}u_n=\ell \mbox{ alors } \sum_{k=0}^{n}\left(u_{n+1}-u_n\right) & = & u_{n+1}-u_0 \mbox{ alors } \sum_{k=0}^{+\infty}\left(u_{n+1}-u_n\right)=\ell-v_0
\end{eqnarray*}
\end{Rq}

\subsection{Les suites de fonctions}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large Il faut faire la différence entre deux types de convergences : 
\\
\noindent \textbf{ La convergence simple } : 
\[\forall x\in \K, \forall \eps >0, \exists N\in\N \mbox{ tel que } \forall n\ge N \Longrightarrow \Big|(f_n-f)(x)\Big|\le \eps\]

\noindent \textbf{ La convergence uniforme } : 
\[\forall \eps >0, \exists N\in\N \mbox{ tel que } \forall x\in \K, \forall n\ge N \Longrightarrow \Big|(f_n-f)(x)\Big|\le \eps
\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soit $\Big(f_n(x)\Big)_n$ une suite de fonctions. 

\[
\left(\left\{
\begin{array}{l}
f_n\in\mathcal{C}^{0}\Big([a,b]\Big)\\
f_n \mbox{ converge uniformément sur } [a,b]
\end{array}
\right. \impG f\in\mathcal{C}^{0}\Big([a,b]\Big) \right)
\]

\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soit $\Big(f_n(x)\Big)_n$ une suite de fonctions.
\[
\left(\left\{
\begin{array}{l}
f_n\in\mathcal{C}^{0}\Big([a,b]\Big)\\
f(x)\neq\mathcal{C}^{0}\Big([a,b]\Big)
\end{array}
\right. \impG \Big(f_n(x)\Big)_n \mbox{ ne converge pas uniformément sur }[a,b] \right)
\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soit $\Big(f_n(t)\Big)_n$ une suite de fonctions.
\[
\left(\left\{
\begin{array}{l}
f_n\in\mathcal{C}^{0}\Big([a,b]\Big)\\
\lim_{n\to\oo}\left(\int_{a}^{b}f_n(t)dt\right)=\int_{a}^{b}f(t)dt
\end{array}
\right. \impG \Big(f_n(x)\Big)_n \mbox{converge uniformément sur }[a,b] \right)
\]
\end{Rq}

\subsection{Les séries de fonctions}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soit $\Big(f_n(t)\Big)_n$ une suite de fonctions. Etudier la convergence simple de la série de fonctions $\sum f_n$ sur $\K$, c'est étudier la convergence de la série numérique $\sum f_n$ où $x\in\K$ fixé.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soit $\Big(f_n(t)\Big)_n$ une suite de fonctions. Etudier la convergence normale de la série de fonctions $\sum f_n$ sur $\K$, c'est étudier la convergence de la série numérique $\sum \left\|f_n\right\|_{\infty/\K}$ où $\left\|f_n(x)\right\|_{\infty/\K}=\sup_{x\in\K}|f_n(x)|$ fixé.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soit $\Big(f_n(x)\Big)_n$ une suite de fonctions.
\[
\left(\left\{
\begin{array}{l}
f_n\in\mathcal{C}^{0}\Big(\K\Big)\\
\sum f_n(x) \mbox{ converge uniformément sur }\K
\end{array}
\right. \impG \mbox{La somme }S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)\mbox{ est continue sur }\K \right)
\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soient $\Big(f_n(x)\Big)_n$ une suite de fonctions et $S(x)=\sum_{n=0}^{
+\infty}f_n(x)$.
\[
\left(\left\{
\begin{array}{l}
f_n \mbox{ dérivables sur } \K\\
\sum f_n(x) \mbox{ converge simplement sur }\K\\
\sum f_n^{'}(x) \mbox{ converge uniformément sur }\K
\end{array}
\right. \impG S(x)\mbox{ dérivable sur }\K \mbox{ et vaut } S'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} f_{n}^{'}(x) \right)
\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
Soit $\Big(f_n(x)\Big)_n$ une suite de fonctions.
\[
\left(\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \in\mathcal{C}^{0}\Big([a,b]\Big) \\
\sum f_n(x) \mbox{ converge uniformément sur } [a,b]
\end{array}
\right. \impG \int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(t)\right)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\int_{a}^{b} f_n(t)dt\right) \right)
\]
\end{Rq}

\subsection{Les séries entières}


\begin{Rq}
\normalfont 
\large 

\noindent On appelle rayon de convergence (RCV) la quantité $R\in[0,+\infty]$ définie par \[R = \sup\left\{r\ge 0, \sum a_n z^n \mbox{ converge}\right\}\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 

\noindent Soit $R$ le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$. 
\begin{eqnarray*}
R & = & \sup\left\{ r\ge 0, \Big(a_n z^n\Big)_n \mbox{ est bornée}\right\} \\
  & = & \sup\left\{r\ge0, \lim_{n\to+\infty}\Big(a_nr^{n}\Big)=0\right\}
\end{eqnarray*}
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 
\noindent Pour calculer le rayon de convergence, il faut  
\begin{itemize}
	\item Soit regarder quand $\Big(|a_n|r^n\Big)_n$ est bornée.
	\item Soit claculer la quantité $\forall a_n\neq 0, \lim_{n\to +\oo}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\ell\in[0, +\infty]$. Alors $R=\frac{1}{\ell}$
\end{itemize}

\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont 
\large 

\noindent Il faudra connaître le développement en série de quelques fonctions usuelles : 
\begin{eqnarray*}
\forall |X|<1, -\ln(1-X) & = & \sum_{p=1}^{+\infty}\frac{X^p}{p} \\
\forall |X|<1, \frac{1}{1-X} & = & \sum_{p=0}^{+\oo} X^p
\end{eqnarray*}
\end{Rq}


\begin{Rq}
\normalfont 
\large 

\noindent Soit $\Phi=\sum_{n\ge 0}a_nz^n$ une série entière et $R$ sont rayon de convergence.
\begin{enumerate}
	\item $\Phi$ converge absolument si $|z|<R$.
	\item $\Big(a_n z^n\Big)_n$ est bornée si $|z|<R$.
	\item Pour tout $\eps >0$, la convergence de $\Phi$ est normale sur l'ensemble $\Big\{ z\in\C, |z|\le R-\eps\Big\}$.
\end{enumerate}
\end{Rq}

\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
