\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
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\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}

%% DEFINITIONS THEOREMES %%
\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exercice}\normalfont}{\end{exercice} }
\newtheorem{corrige}{Corrigé}
\newenvironment{corr}{\begin{corrige}\normalfont}{\end{corrige} }
\newtheorem{methode}{Méthode}
\newenvironment{modo}{\begin{methode}\normalfont}{\end{methode} }
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

% Les ensembles en maths
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}  % L'ensemble des réels
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% La physique
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	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Révision : Equations différentielles du second ordre}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{12.3pt}
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    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}

\begin{document}

\par
\noindent \textcolor{red}{Résolution d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre deux à coefficients constants}


\begin{modo}
Le type d'équations différentielles auxquelles on s'intéresse sont de la forme suivante :
\[y^{''} - \alpha y^{'}-\beta y = 0 \label{ed}\tag{\mbox{\textbf{H}}}\]
Où $\alpha, \beta$ sont deux constantes. Voici les grandes étapes à suivre :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les racines de l'équation caractéristique (idem : polynôme caractéristique) associée :
	\[r^{2}-\alpha r - \beta = 0\label{poly}\tag{\mbox{\textbf{C}}}\]
	\item Le cas de $(\alpha, \beta)\in\C^{2}$.
	
\begin{itemize}
	\item Lorsque l'équation caractéristique ~\eqref{poly} admet deux racines distinctes $\lambda, \mu$, toute solution complèxe de ~\eqref{ed} est de la forme :
	\[y(t)=k_1 \cdot e^{\lambda t} + k_2 \cdot e^{\mu t}, \quad \mbox{ où }k_1, k_2 \mbox{ deux constantes complèxes}\]
	\item Lorsque l'équation caractéristique ~\eqref{poly} admet une racine double $\lambda = \frac{\alpha}{2}$, toute solution complèxe de ~\eqref{ed} est de la forme : 
	\[y(t)=\Big(k_1 + k_2\cdot t\Big)e^{\lambda t},\quad \mbox{ où } k_1, k_2 \mbox{ sont des constantes complèxes}\]
\end{itemize}
\item Le cas de $(\alpha, \beta)\in\R^{2}$
\begin{itemize}
	\item Lorsque l'équation caractéristique ~\eqref{poly} admet deux racines réelles distinctes $\lambda, \mu$, toute solution réelle de ~\eqref{ed} est de la forme :
	\[y(t) = k_1\cdot e^{\lambda t} + k_2 e^{\mu t}, \quad \mbox{ où }k_1, k_2 \mbox{ sont constantes réelles}\]
	\item Lorsque l'équation caractéristique ~\eqref{poly} admet une racine double réelle $\lambda = \frac{\alpha}{2}$, toute solution réelle de  ~\eqref{ed} est de la forme :
	\[y(t) = \Big(k_1+k_2\cdot t\Big) e^{\lambda t}, \quad \mbox{ où }k_1, k_2 \mbox{ sont constantes réelles}\]
	\item Lorsque l'équation caractéristique ~\eqref{poly} admet deux racines complèxes conjuguées $\lambda = a+\imath b$ et $\overline{\lambda} = a-\imath b$, toute solution réelle de ~\eqref{ed} est de la forme :
	\[y(t) = \Big(k_1\cdot \cos(bt)+k_2\cdot \sin(bt)\Big) e^{a t}, \quad \mbox{ où }k_1, k_2 \mbox{ sont constantes réelles}\]	
\end{itemize}
\end{enumerate}

\noindent \textcolor{red}{Pour les équations différentielles ayant un second membre} \newline
\noindent Pour trouver une solution particulère d'une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre, on prend : 
\begin{enumerate}
	\item essayer de deviner une telle solution; 
	\item décomposer le second membre en une somme de fonctions plus simple et appliquer le principe de superposition; 
	\item lorsque l'on connaît une solution de l'équation homogène associée qui ne s'annule pas, utiliser la méthode de variation de la constante; 
	\item lorsque l'on connaît un système fondamental de solutions de l'équation homogène associée, utiliser la méthode de variation des deux constantes.
\end{enumerate}
\end{modo}

\begin{exo}
Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
\begin{enumerate}
	\item $y^{''}+4y^{'}+3y = 0$, 
	\item $y^{''}-6y^{'}+9y = 0$,
	\item $y^{''}-2y^{'}+2y = 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{corr}
Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
\begin{enumerate}
	\item Le polynôme caractéristique de cette équation différentielle est donnée par $(r+3)(r-7) = 0$. \\ La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme :
	\[y(t) = k_1 \cdot e^{-3t}+k_1\cdot e^{7t}\qquad k_1, k_2 \in\R\]
	\item Le polynôme caractéristique de cette équation différentielle est donnée par $(r-3)^2 = 0$. \\ La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme :
	\[y(t) = \Big(k_1+k_2\cdot t\Big)e^{3t}\qquad k_1, k_2 \in\R\]
	\item Le polynôme caractéristique de cette équation différentielle s'écrit $\Big(r-(1-i)\Big)\Big(r-(1+i)\Big) = 0$. \\ La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme :
	\[y(t) = \Big(k_1\cdot \cos t+k_2\cdot\sin t\Big)e^{t}\qquad k_1, k_2 \in\R\]
\end{enumerate}
\end{corr}

\end{document}

