%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Adresse mail : rifly01@gmail.com            %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{amsmath}
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exm}[theo]{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{corr}{Corrigé}							% Corrigé
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle
	\newtheorem{modo}{Méthode}							% Méthode
	
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
	\newcommand{\N}{{\mathbb N}}						% L'ensemble des Entiers
	\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}						% L'ensemble des rationnels
	\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}						% L'ensemble des relatifs
	\newcommand{\C}{{\mathbb C}}						%	L'ensemble des complexes
	\newcommand{\F}{{\mathbb F}}						% L'ensemble F
	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
	\newcommand{\K}{{\mathbb K}}						% L'ensemble K
	
	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	%\newcommand{\di}{\displaystyle}				% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\pal}{\partial}							% Dérivées partielles
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
	\end{flushright}
	}	
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Exemple d'utilisation du Pivot de Gauss}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%

\begin{center}
\Huge \textbf{Utilisation du Pivot de Gauss}
\end{center}

\begin{exo}
\normalfont
\large 
\noindent 
Soit un système donné par :
\[
\left\{ \begin{array}{lllllll}
	\alpha & + & \beta & &  & = & 1\\
	       &   & 2 \beta & - & 3 \gamma  & = & 0 \\
	-\alpha & + & \beta & +  & 2 \gamma & = & 0 \\
\end{array}
\right.
\]
\noindent Résoudre ce système en utilisant la méthode de Gauss.
\end{exo}


\begin{corr}
\normalfont
\large 
\noindent 
Notons qu'on peut écrire le système de la manière suivante : 
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -3\\
-1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta\\
\gamma 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0 
\end{pmatrix}
\]
Utilisant le Pivot de Gauss.
\[
\left(
\begin{array}{lll|l}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
-1 & 1 &  2 & 0
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{lll|l}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 2 &  2 & 1
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{lll|l}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 0 &  5 & 1
\end{array}
\right)
\]
\noindent Ainsi, on a : 
\[
\left\{ \begin{array}{lllllll}
	\alpha & + & \beta & &  & = & 1\\
	       &   & 2 \beta & - & 3 \gamma  & = & 0 \\
	 &  &  &   & 5 \gamma & = & 1 \\
\end{array}
\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{lll}
	\alpha & = & 7/10 \\
	\beta  & = & 3/10 \\
	\gamma & = & 1/5
\end{array}
\right.
\]

\end{corr}


\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
