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%% Adresse mail : rifly01@gmail.com            %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exm}{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{corr}{Corrigé}							% Corrigé
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle
	\newtheorem{loi}[theo]{Loi}							% Loi
	\newtheorem{modo}{Méthode}[section]							% Méthode
	\newtheorem{ill}{Illustration}[section]					% Illustration
	\newtheorem{Rq}{Remarque}[section]								% Remarque
	\newtheorem{forme}{Forme}								% Format
	
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
	\newcommand{\N}{{\mathbb N}}						% L'ensemble des Entiers
	\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}						% L'ensemble des rationnels
	\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}						% L'ensemble des relatifs
	\newcommand{\C}{{\mathbb C}}						%	L'ensemble des complexes
	\newcommand{\F}{{\mathbb F}}						% L'ensemble F
	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
	\newcommand{\K}{{\mathbb K}}						% L'ensemble K
	\newcommand{\E}{{\mathbb E}}						% L'ensemble E
	
	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	%\newcommand{\di}{\displaystyle}				% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\pal}{\partial}							% Dérivées partielles
	%\newcommand{\ker}{\mbox{ker}}
	%\newcommand{\div}{\mbox{div}}
	%\newcommand{\rot}{\mbox{\vect{rot}}}	
	%\newcommand{\grad}{\mbox{\vect{grad}}}
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
	\end{flushright}
	}	
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Les révisions pour les examens et concours}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

% Parametrage du fond %
	 \definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
	 \pagecolor{lightgray}
% Fin%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%

\begin{center}
\Huge \textbf{Révisions : Examens et concours}
\end{center}

\begin{center}
\Huge \textbf{Mathématiques}
\end{center}

\section{Analyse}
\subsection{Intégrales de Riemann}

\begin{theo}
\normalfont
\large
\noindent 
Les intégrales de Riemann sont de la forme 
\[\alpha_n = \frac{1}{n}\sum_{p=1}^{n} f\left(\frac{p}{n}\right)\quad \mbox{ avec } f \mbox{ une fonction continue}\]
\end{theo}

\subsection{Intégration par parties}

\begin{theo}
\normalfont
\large
\noindent 
Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a,b]$, alors 
\[\int_{a}^{b}u(t)v'(t)dt = \Big[u(t) v(t)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}u'(t)v(t)dt\]
\end{theo}

\subsection{Changement de variable}

\begin{theo}
\normalfont
\large
\noindent 
Soit $f$ une fonction continue sur $[c,d]$ et si $u$ une fonction bijective de $[a,b]$ dans $[c,d]$ de classe $\mathcal{C}^1$ alors 
\[\int_{c}^{d} f(x)dx = \int_{u^{-1}(c)}^{u^{-1}(d)}f(u(t)) u'(t)dt\]
\end{theo}

\subsection{Forme d'intégrales dépendants d'un paramètre}

\begin{forme}
\normalfont
\large
\noindent 
Voici la forme d'une \textbf{intégrale dépendant d'un paramètre} 
\[F(x) = \int_{a}^{b}f(x,t)dt \quad \mbox{ avec } a,b \mbox{ fixés}\]
\end{forme}

\subsection{Forme de fonctions définies par une intégrale}

\begin{forme}
\normalfont
\large
\noindent 
Voici des exemples de \textbf{fonctions définies à l'aide d'une intégrale}.
\[G(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{1}{t^2+x^2} dt\quad , \quad H(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt\]
\noindent Pour $H$ : \underline{Si $u, v$ sont dérivables et $f$ continue} alors $H$ est dérivable, il suffit de revenir à un calcul explicite de $H$. Si $F$ est une primitive de $f$ alors 
\[H(x) = F(v(x))-F(u(x)) \Longrightarrow H'(x) = f(v(x)) v'(x)-f(u(x))u'(x)\]
\end{forme}

\subsection{Etude d'une fonction définie par intégrale}

\begin{modo}
\normalfont
\large
\noindent 
On veut étudier la fonction $G$ définie par 
\[G(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{1}{t^2+x^2} dt\]
\noindent Faisons un changement de variable pour se ramenner à des bornes constantes
\[0 \le t \le x^2 \mbox{ dans le cas général  } \Big(u(x) \le t \le v(x) \Big)\]
On écrit $t = x^2 s$ et $dt = x^2 ds$ avec $s\in [0,1]$. Dans le cas général, on aurait pu écrire : 
\[
\left\{\begin{array}{lll}
t & = & u(x) + s\Big(v(x)-u(x)\Big) \\
dt & = & \Big(v(x)-u(x)\Big)ds
\end{array}\right. \mbox{ avec } 0 \le s \le 1\]
\noindent Ainsi : 
\[G(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{1}{t^2+x^2} dt = \int_{0}^{1}\frac{x^2ds}{(sx^2)^2+x^2} = \int_{0}^{1}\frac{ds}{1+s^2 x^2}\]
\end{modo}

\subsection{Intégrales triples}
\begin{exo}
\normalfont
\large 
\noindent 
Calculer $I_{\al} = \iiint_{\mathcal{D}}\frac{dxdydz}{(x^2+y^2+z^2)^{\al}}$ où $\mathcal{D} = \Big\{(x,y,z)\in\R^3 \:;\: a^2 \le x^2+y^2+z^2 \le b^2, a,b\in\R_{+}\Big\}$
\end{exo}

\begin{exo}
\normalfont
\large 
\noindent 
$\mathcal{D}$ en coordonnées shpériques s'écrit :

\[\mathcal{D} = \Big\{(\rho, \phi, \theta) ;  a\le \rho \le b ; -\frac{\pi}{2}\le \phi \le\frac{\pi}{2} ; 0\le \theta\le 2\pi\Big\}\]
Alors 
\begin{eqnarray*}
I = \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{a}^{b}\rho^{2-2\alpha} d\rho \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\phi d\phi & = & 4\pi \frac{b^{3-2\al}-a^{3-2\al}}{3-2\alpha} \quad \mbox{si } \alpha \not = \frac{3}{2} \\
& = & 4\pi \ln\frac{b}{a} \quad \mbox{si }\alpha = \frac{3}{2} 
\end{eqnarray*}


\end{exo}





\subsection{Les équations différentielles}
\noindent Dans cette partie, on va se restreindre au progamme du concours.

\newpage
\section{Algèbre}

\subsection{Exemple d'utilisation du pivot de Gauss}

\begin{modo}
\normalfont
\large 
\noindent 
Soit un système donné par :
\[
\left\{ \begin{array}{lllllll}
	\alpha & + & \beta & &  & = & 1\\
	       &   & 2 \beta & - & 3 \gamma  & = & 0 \\
	-\alpha & + & \beta & +  & 2 \gamma & = & 0 \\
\end{array}
\right.
\]
\noindent Résoudre ce système en utilisant la méthode de Gauss.
\\
\noindent 
Notons qu'on peut écrire le système de la manière suivante : 
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -3\\
-1 & 1 & 2 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta\\
\gamma 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0 
\end{pmatrix}
\]
Utilisant le Pivot de Gauss.
\[
\left(
\begin{array}{lll|l}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
-1 & 1 &  2 & 0
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{lll|l}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 2 &  2 & 1
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{lll|l}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & -3 & 0 \\
0 & 0 &  5 & 1
\end{array}
\right)
\]
\noindent Ainsi, on a : 
\[
\left\{ \begin{array}{lllllll}
	\alpha & + & \beta & &  & = & 1\\
	       &   & 2 \beta & - & 3 \gamma  & = & 0 \\
	 &  &  &   & 5 \gamma & = & 1 \\
\end{array}
\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{lll}
	\alpha & = & 7/10 \\
	\beta  & = & 3/10 \\
	\gamma & = & 1/5
\end{array}
\right.
\]
\end{modo}

\subsection{Les applications linéaires}

\begin{modo}
\normalfont
\large 
\noindent
Si $f$ est une application linéaire alors il existe une matrice pour la représenté
\end{modo}


\subsection{Déterminer le noyau d'une application linéaire}

\begin{defi}
\normalfont
\large 
\noindent
Soient $\E, \F$ deux $\K-$espaces vectoriels et $f$ une application linéaire de $\E$ dans $\F$. Le noyau de cette application linéaire est définit comme suit : 
\[\ker f = \Big\{x\in\E, f(x) = 0_{\F}\Big\} \ssiG \Big\{\exists x_0\in\E, f(x_0) = 0_{\F}\Big\}\]
\noindent On note que $\ker f$ est un sous-espace vectoriel de $\E$. Noter aussi que $\ker f \subset \E$.
\end{defi}

\begin{theo}
\normalfont
\large 
\noindent
Un théorème important
\[f \mbox{ est injective } \ssiG \mbox{ker} f = \Big\{0_{\E}\Big\}\]
\end{theo}

\subsection{Application linéaire et isomorphisme}

\begin{theo}
\normalfont
\large 
\noindent
Soient $\E$ et $\F$ deux $\R-$espaces vectoriels et $\phi \in\mathcal{L}(\E, \F)$ une application linéaire de $\E$ dans $\F$
\[\phi \mbox{ est isomorphisme de } \E \mbox{ dans } \F \Longleftrightarrow \ker(\phi) = \{0\} \mbox{ et }\mbox{Im}(\phi)=\F\]
Dans ce cas, l'application réciproque $\phi^{-1}$ existe et appartient à $\mathcal{L}(\E, \F)$.
\end{theo}

\subsection{Déterminer l'image d'une application linéaire}

\begin{defi}
\normalfont
\large 
\noindent
Soient $\E, \F$ deux $\K-$espaces vectoriels et $f$ une application linéaire de $\E$ dans $\F$. Le noyau de cette application linéaire est définit comme suit : 
\[\mbox{Im} f = \Big\{f(x), x\in\E,\Big\} \ssiG \Big\{\exists x \in\E, y=f(x) \Big\}\]
\noindent Si $\Big\{e_1, e_2, ..., e_n\Big\}$ est une base de $\E$, alors $\mbox{Im} f  = \mbox{vect}\Big\{f(e_1), f(e_2), ..., f(e_n)\Big\} $.\\ Noter aussi que $\mbox{Im} f \subset \F$.
\end{defi}

\subsection{Deux sous-espaces vectoriels supplémentaires}


\subsection{Déterminer le sous-espace vectoriel à partir d'une partie}

\begin{exo}
\normalfont
\large
\noindent 
Soit $(\R, + , \cdot)$ un $\R-$espace vectoriel, déterminer le sous-espace vectoriel engendré par la partie suivante : 
\[P_1 = \Big\{(1,1,1); (0,2,3)\Big\}\]
\end{exo}

\begin{corr}
\normalfont
\large
\noindent 
$F_1 = \mbox{Vect}(P_1)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires $\lambda \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}$ pour $(\lambda, \mu)\in\R^{2}$
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
\in\F_1 & \ssiG &
\exists (\lambda, \mu)\in\R^2 \mbox{ tel que } \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \lambda  \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix} \\
& \ssiG & \exists (\lambda, \mu)\in\R^2 \mbox{ tel que } 
\left\{
\begin{array}{lll}
x & = & \lambda \\
y & = & \lambda + 2\mu \\
z & = & \lambda + 3\mu 
\end{array}
\right.
\\
& \ssiG & \exists (\lambda, \mu)\in\R^2 \mbox{ tel que } 
\left\{
\begin{array}{lll}
\lambda & = & x \\
\mu & = & \frac{1}{2}\Big(y-x\Big)\\
z & = & x+\frac{3}{2}\Big(y-x\Big) 
\end{array}
\right.\\
& \ssiG & x-3y+2z = 0
\end{eqnarray*}

\noindent En conclusion : 
\[F_1 = \Big\{(x,y,z) \in\R^3 \mbox{ tel que } x-3y+2z = 0 \Big\}\]
\end{corr}

\subsection{Déterminer le sous-espace propre associé à une valeur propore}

\begin{exo}
\normalfont
\large
\noindent 
Dans $\R^3$, on considère l'endomorphisme $f$ dont la matrice dans la base canonique est 
\[\mathcal{M}(f) = \begin{pmatrix}3 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 8 & 6 & -5\end{pmatrix}\]
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le réel $\lambda = -1$ est une valeur propre, 
	\item Trouver le sous-espace propre associé à $\lambda=-1$,
	\item Donner une base de ce sous-espace propre $\mathcal{P}$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{corr}
\normalfont
\large
\noindent 
\begin{enumerate}
	\item On a $\mathcal{M}(f)-\lambda I_3 = \mathcal{M}(f)+I_3 = \begin{pmatrix}4 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0\\8 & 6 & -4\end{pmatrix}$, donc $\det\Big(\mathcal{M}(f)+I_3\Big)=0$. \\D'où, $\lambda=-1$ est une valeur propre de $f$.
	\item Soit $u= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ un vecteur propre associé à $\lambda = -1$, on a : 
	\begin{eqnarray*}
	f(u)=\lambda u & \ssiG & \begin{pmatrix}3 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 8 & 6 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x\\-y\\-z\end{pmatrix} \\
	& \ssiG & \left\{\begin{array}{lll}4x + 3y -2z & = &  0 \\8x +6y - 4z & = & 0\end{array}\right. \\
	& \ssiG & 4x+3y-2z = 0
	\end{eqnarray*}
	Le sous-espace propre associé à $\lambda = -1$ est donc le plan d'équation $4x+3y-2z = 0$.
	\item Soit $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in\mathcal{P}$. Comme $z = x+\frac{3}{2}y = x+ \alpha y $, on en déduit que $u = \left(x,y,x+\alpha y\right)$\\ ou encore $u=x\left(1,0,1\right)+y\left(0,1,\alpha\right)$. Ainsi tout élément $u\in\mathcal{L}$ est combinaison linéaire de $a = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ et de $b = \begin{pmatrix}0\\1\\ \alpha\end{pmatrix}$, Par ailleurs, la famille $(a, b)$ est libre et par suite elle est une base de $\mathcal{P}$
\end{enumerate}
\end{corr}

\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
\newpage 
\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
