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%% Adresse mail : rifly01@gmail.com            %%
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%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{corr}{Corrigé}							% Corrigé
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle
	\newtheorem{modo}{Méthode}							% Méthode
	
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
	\newcommand{\N}{{\mathbb N}}						% L'ensemble des Entiers
	\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}						% L'ensemble des rationnels
	\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}						% L'ensemble des relatifs
	\newcommand{\C}{{\mathbb C}}						%	L'ensemble des complexes
	\newcommand{\F}{{\mathbb F}}						% L'ensemble F
	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
	\newcommand{\K}{{\mathbb K}}						% L'ensemble K
	
	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	%\newcommand{\di}{\displaystyle}				% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\pal}{\partial}							% Dérivées partielles
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
	\end{flushright}
	}	
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Equation fonctionnelle}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%

\begin{exo}
\normalfont
\large 
\noindent
Déterminer la fonction $f$ continue sur $\R$ vérifiant $(E) : f(x)-\int_{0}^{x}tf(t)dt = 1$
\end{exo}

\begin{corr}
\normalfont
\large 
\noindent
Supposons qu'une telle fonction $f$ existe. La fonction $t\longmapsto tf(t)$ étant continue sur continue sur $\R$, la fonction $x \longmapsto \int_{0}^{x}t f(t) dt$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$. Puisque $\forall x\in\R, f(x)=\int_{0}^{x}tf(t)dt +1$, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$. \\
En dérivant les deux membres de $(E)$ on obtient $(E')$ : $\forall x\in\R, f'(x)=x f(x)$. La fonction $f$ est, par conséquent, solution de l'équation différentielle linéaire $y'=xy$ dont la solution est : \\$x \longmapsto \lambda \exp\left(\int_{0}^{x}tdt\right)=\lambda\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)$ avec $\lambda \in\R$. \\
En remplaçant $x$ par $0$ dans l'équation, obtient la condition $f(0)=1$ qui implique $\lambda = 1$. \\
Donc $\boxed{f : x\longmapsto \exp\left(\frac{x^2}{2}\right)}$ est la seule solution de possible.\\
Réciproque : On vérifie immédiatement que $f$ satisfait la condition $(E)$, $f$ est donc l'unique solution 

\end{corr}


\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
