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%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{corr}{Corrigé}							% Corrigé
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle
	\newtheorem{modo}{Méthode}							% Méthode
	
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
	\newcommand{\N}{{\mathbb N}}						% L'ensemble des Entiers
	\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}						% L'ensemble des rationnels
	\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}						% L'ensemble des relatifs
	\newcommand{\C}{{\mathbb C}}						%	L'ensemble des complexes
	\newcommand{\F}{{\mathbb F}}						% L'ensemble F
	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
	\newcommand{\K}{{\mathbb K}}						% L'ensemble K
	
	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	%\newcommand{\di}{\displaystyle}				% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\pal}{\partial}							% Dérivées partielles
	
	
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{Mohammed EL BACHIR}}
	\end{flushright}
	}
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textsc{Etude d'une série}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%


\begin{exo}
\normalfont
\large 
\textbf{Etude d'une série}
\begin{enumerate}
	\item  Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\ge 1}\frac{\ln n}{n}$.
	\item Montrer que la suite de terme général $\frac{\ln n}{n}$ est monotone à partir d'un certain rang que l'on précisera. En déduire la nature de la série $\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^n\ln n}{n}$.
	\item Déterminer la nature de $\sum_{n\ge 1}\frac{\ln n}{n}$. La série $\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^n\ln n}{n}$ est-elle absolument convergente ?
\item Calculer $\int_{a}^{b}\frac{\ln t}{t}dt$ où $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs.
\end{enumerate}
\begin{flushright}
\textbf{Extrait : CCP - 2007}
\end{flushright}
\end{exo}

\begin{corr}
\normalfont
\large 
\begin{enumerate}
 \item Posons $a_n=\frac{\ln n}{n}$. On a pour tout $n\in\N^{*}, a_n\neq 0$ et $\lim_{n\to+\oo}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\ell=1$. Donc $R=\ell=1$.
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R_{+}^{*}$ par $f(x)=\frac{\ln x}{x}$. Calculons la dérivée de $f$.
\[\forall x\in\R_{+}^{*}, f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\qquad \mbox{et}\qquad f'(x_0)=0 \ssiG 1-\ln x_0 =0 \ssiG x_0=e\]
Par suite, $f$ est monotone (décroissante) à partir de $x_0$, \cad, décroissante sur $[e, +\oo[$.\\
\noindent $\forall n\in\N^*, \frac{(-1)^n\ln n}{n}=(-1)^n\left|\frac{\ln n}{n}\right|$ donc il s'agit d'une série alternée. De plus $a_n$ décroit et tend vers $0$. Par conséquent, la série converge par le théorème des séries alternées.
\item $a_n$ s'écrit également comme $a_n=\frac{\ln n}{n}=\frac{1}{n(\ln n)^{-1}}$ et par comaparaison aux séries de bertrand $\Big($avec comme paramètres $\alpha = 1$ et $\beta =-1\Big)$ ainsi, on peut conclure à la divergence de la série. \\
\noindent Une série $\sum u_n$ est absolument convergente, si et seulement si, $\sum |a_n|$ est convergente. \\ \noindent Ici $\left|\frac{(-1)^n\ln n}{n}\right|=\frac{\ln n}{n}$ qui est le terme général d'un série divergente. Donc la série n'est pas absolument convergente. (On dit qu'elle est semi-convergente) 
\item Soit $b>a>0$, on a : 
\[\int_{a}^{b}\frac{\ln t}{t}dt=\int_{a}^{b} u'(t)u(t)dt=\left[\frac{u^{2}(t)}{2}\right]_{a}^{b}=\left[\frac{(\ln t)^{2}}{2}\right]_{a}^{b}=\frac{(\ln b)^{2}-(\ln a)^{2}}{2}\]
\end{enumerate}


\end{corr}


\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
