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%% Document réalisé par Mohammed EL BACHIR     %%
%% Adresse mail : rifly01@gmail.com            %%
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%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
	\newcommand{\N}{{\mathbb N}}						% L'ensemble des Entiers
	\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}						% L'ensemble des rationnels
	\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}						% L'ensemble des relatifs
	\newcommand{\C}{{\mathbb C}}						%	L'ensemble des complexes
	\newcommand{\F}{{\mathbb F}}						% L'ensemble F
	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
	\newcommand{\K}{{\mathbb K}}						% L'ensemble K
	
	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	\newcommand{\di}{\displaystyle}					% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{Mohammed EL BACHIR}}
	\end{flushright}
	}
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textsc{Règle de l'Hospital et son application}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%

\begin{center}
\huge \textbf{Règle de l'Hospital }
\end{center}

\section{La règle}
\begin{rgl}
\large
\normalfont
\noindent 	Il s'agit d'une règle pour lever, parfois, des formes indéterminées du type $\di \frac{0}{0}$ ou bien $\di \frac{\infty}{\infty}$. Si $\di f$ et $\di g$, deux fonctions, tendent toutes les deux vers $\di 0$ en $\di a$, ou vers $\di \pm\infty$, et si le rapport 
	$$\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
	admet une limite finie ou égale à $\di \pm \infty$ en $\di a$, alors : 
	$$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$  
\end{rgl}

\section{L'application}
\begin{exo}
\normalfont
\large
Calculer : 
$$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^3-x}$$
\end{exo}

\begin{proof}
\normalfont \large
On est confronté à une FI de la forme $\di \frac{0}{0}$. Par l'application de la règle d'Hospital, on a : 
$$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-x} = \lim_{x\to 1}\frac{1}{3x^2-1}=\frac{1}{2}$$
\end{proof}
\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
