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%% Document réalisé par Mohamed EL BACHIR      %%
%% Adresse mail : rifly01@gmail.com            %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% PREAMBULE %%
\documentclass[12pt,a4paper,oneside,final,french]{article}

%% LES PACKAGES %%
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\usepackage[french]{babel}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}
\usepackage{vmargin}
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\usepackage{amsmath,amscd,latexsym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[psamsfonts]{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,
						urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage{multicol}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-node}		% Les points ... %
\usepackage{pst-plot}		% Les fonctions ... %
\usepackage{pst-tree}		% Les arbres %
\usepackage{pst-circ}		% Les circuits %
%% FIN PACKAGES %%

	\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
	\newrgbcolor{fftttt}{1 0.2 0.2}

%% L'ENTETE %%
\setmarginsrb{2.5cm}{1cm}{2.5cm}{2.5cm}
   {1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
\fancyhead[R]{\thepage}
\fancyhead[L]{\footnotesize{\leftmark}}
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\addtolength{\headheight}{0.3pt}
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    \fancyhead[R]{\thepage}
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
\linespread{1.4}
%% FIN ENTETE %%

%% THEOREMES, DEFINITIONS ...%%

\newenvironment{defn}{\noindent \textbf{Définition.}}{}
\newenvironment{rem}{\noindent \textbf{Remarque.}}{}
\newenvironment{exem}{\noindent \textbf{Exemple.}}{}
\newenvironment{theo}{\noindent \textbf{Théorème.}}{}
\newenvironment{rgl}{\noindent \textbf{Règle.}}{}
\newenvironment{prop}{\noindent \textbf{Proposition.}}{}
\newenvironment{lem}{\noindent \textbf{Lemme.}}{}

\newenvironment{ex}{\noindent \textbf{Exercice.}}{}
\newenvironment{dem}{{\noindent \sc Démonstration.}}
{\hspace{\stretch{1}}$\square$\vspace{0,2 cm}}
\newenvironment{corr}{{\noindent \sc Correction.}}{\hspace{\stretch{1}}}
%% FIN THEOREMES, DEFINITIONS ... %%

%%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%%
%% LES ENSEMBLES %%
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\F}{{\mathbb F}}
%% FIN DES ENSEMBLES %%

%% AUTRES SYMBOLES IMPORTANTS %%
\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
\newcommand{\be}{\beta}									% beta
\newcommand{\del}{\delta}								% delta
\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite			
\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
\newcommand{\di}{\displaystyle}					% mise en forme maths 
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
%% FIN AUTRES SYMBOLES IMPORTNATS %%

%% AFFICHE L'AUTEUR %%
\newcommand{\moi}{\begin{flushright}\emph{--- Mohammed EL BACHIR ---}\end{flushright}}
%% AFFICHE L'AUTEUR %%

%%% DEBUT DOCUMENT %%%
\begin{document}

\begin{center}
\Huge \textbf{Qu'est ce qu'une suite de Cauchy ?}
\end{center}

\begin{defn}
La définition formelle d'une suite de Cauchy est la suivante : 
\\
$\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in\N$ tel que $\di \forall p,q > n_0$ on a $\di |x_q-x_p|<\epsilon$
\end{defn}

\begin{prop}
Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est vraie.
\end{prop}


\begin{ex}
Soit $\di (x_n)_{n\in\N}$ la suite de terme générale $\di x_n = \frac{3n}{4n+5}$\\
Montrer, en utilisant la définition de la suite de Cauchy, que $\di (x_n)_{n\in\N}$ converge.
\end{ex}

\begin{corr}
\\
$\di \forall n>p>n_0, |x_n-x_p|=\left|\frac{3n}{4n+5}-\frac{3p}{4n+5} \right|=\frac{15(n-p)}{(4n+5)(4p+5)} \le \frac{15}{4(4p+5)}<\frac{1}{n_0}$\\ 
car $\di n\ge p \Longrightarrow n-p \le n$ et $\di 4n+5 < 4n$.\\
Ainsi, $\di (x_n)_{n\N}$ converge.
\end{corr}


%%% FIN DOCUMENT %%%
\end{document}