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%% Document réalisé par Mohamed EL BACHIR      %%
%% Adresse mail : rifly01@gmail.com            %%
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%% PREAMBULE %%
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%% LES PACKAGES %%
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\usepackage{multicol}			% Colonner tes textes %
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\usepackage{pst-node}			% Les points ... %
\usepackage{pst-plot}			% Les fonctions ... %
\usepackage{pst-tree}			% Les arbres %
\usepackage{pst-circ}			% Les circuits %
%% FIN PACKAGES %%

%% L'ENTETE %%
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%% FIN ENTETE %%

%% THEOREMES, DEFINITIONS ... %%
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]
\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}
\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}
\newtheorem{fact}[theo]{Fait}
\newtheorem{defi}[theo]{Définition}
\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}
\newtheorem{exo}[theo]{Exercice}
\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}

%% FIN THEOREMES, DEFINITIONS ... %%

%%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%%
%% LES ENSEMBLES %%
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\F}{{\mathbb F}}
%% FIN DES ENSEMBLES %%

%% AUTRES SYMBOLES IMPORTANTS %%
\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
\newcommand{\be}{\beta}									% beta
\newcommand{\del}{\delta}								% delta
\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite			
\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
\newcommand{\di}{\displaystyle}					% mise en forme maths 
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
%% FIN AUTRES SYMBOLES IMPORTNATS %%

%% AFFICHE L'AUTEUR %%
\newcommand{\moi}{\begin{flushright}\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}\end{flushright}}
%% AFFICHE L'AUTEUR %%

%%% DEBUT DOCUMENT %%%
\begin{document}

\begin{center}
\Huge \textbf{Suites adjacentes}
\end{center}

\section{Définition et théorème}
\begin{defi}
\normalfont
 Deux suites réelles $\di (u_n)_{n\in\N}$ et $\di (v_n)_{n\in\N}$ sont dites adjacentes si elles vérifient les propriétés suivantes : 
 
\begin{enumerate}
	\item $\di (u_n)_{n\in\N}$ est une suite croissante.
	\item $\di (v_n)_{n\in\N}$ est une suite décroissante.
	\item Pour tout $\di n$, $\di u_n \le v_n$.
	\\
	Ce qui veut dire : 
	$$v_0 \le v_1 \le ... \le v_n \le w_n \le ... \le w_1 \le w_0$$
	\item Si $\di n$ tend vers $\di \infty $, alors $\di (v_n-u_n)$ tend $\di 0$.    
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{theo}
\normalfont
Deux suites adjecentes convergent, et elles ont la même limite.
\end{theo}

\section{Application}
\begin{exo}
\normalfont
Soit deux suites de réels $\di (v_n)$ et $\di (w_n)$ adjacentes c'est à dire : $\di (v_n)$ est croissante, $\di (w_n)$ est décroissante et $\di \lim_{n\to+\infty}(v_n-w_n)=0$.
\begin{enumerate}
	\item[\textbf{a.}] Montrer qu'il existe un entier naturel $\di n_0$ tel que,
	$$\forall n\ge n_0 , v_n \le w_n+1$$
	En déduire que la suite $\di (v_n)$ est majorée.
	\item[\textbf{b.}] Montrer de même que la suite $\di (w_n)$ est minorée.
	\item[\textbf{c.}]En déduire que les suites $\di (v_n)$ et $\di (w_n)$ sont convergentes et convergent vers la même limite réelle. 
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{proof}
\normalfont
\begin{itemize}
	\item[\textbf{a.}]En traduisant la dernière proposition de l'énoncé, on peut écrire : \\
	$\di \forall \epsilon>0, \exists n_0 \in\N $ tel que 
	$$\forall n\ge n_0, |v_n-w_n| \le \epsilon$$
	En posant $\di \epsilon =1$ On a immédiatement $\di v_n \le w_n + 1$.\\
	Donc  $\di \forall n\ge n_0$ :
	$$v_0 \le v_1 \le ... \le v_n \le w_n+1 \le ... \le w_1+1 \le w_0+1$$ 
	Ainsi, $\di (v_n)$ est majorée par $\di w_0+1$.
	\item[\textbf{b.}] De la propriété précédente, $\di (w_n)$ est minorée par $\di v_0$.
	\item[\textbf{c.}] $\di (v_n)$ est croissante et majorée donc convergente. De même, $\di (w_n)$ est décroissante et minorée donc convergente.\\
	Soient $\di \ell $ et $\di \ell'$ les limites respectives de $\di (v_n)$ et $\fi (w_n)$.\\
	Donc $\di \lim_{n\to +\infty}(v_n-w_n)=\lim_{n\to +\infty}(v_n)-\lim_{n\to +\infty}(w_n) = \ell - \ell'=0 \ssiG \ell =\ell'$\\
$\di (v_n)$ et $\di (w_n)$ sont convergente, et elles ont la même limite $\di \ell \in\R$.
\end{itemize}
\end{proof}

\moi

%%% FIN DOCUMENT %%%
\end{document}