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%% Document réalisé par Mohamed EL BACHIR      %%
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%% PREAMBULE %%
\documentclass[12pt,a4paper,oneside,final,french]{article}

%% LES PACKAGES %%
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\usepackage{multicol}			% Colonner tes textes %
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%% L'ENTETE %%
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%% FIN ENTETE %%

%% THEOREMES, DEFINITIONS ... %%
\newtheorem{theo}{Théorème}[section]
\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}
\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}
\newtheorem{fact}[theo]{Fait}
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\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}

%% FIN THEOREMES, DEFINITIONS ... %%

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%% LES ENSEMBLES %%
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
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%% FIN DES ENSEMBLES %%

%% AUTRES SYMBOLES IMPORTANTS %%
\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
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\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite			
\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
\newcommand{\di}{\displaystyle}					% mise en forme maths 
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
%% FIN AUTRES SYMBOLES IMPORTNATS %%

%% AFFICHE L'AUTEUR %%
\newcommand{\moi}{\begin{flushright}\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}\end{flushright}}
%% AFFICHE L'AUTEUR %%

%%% DEBUT DOCUMENT %%%
\begin{document}

\begin{center}
\Huge \textbf{Règle de Raabe-Duhamel}
\end{center}

\section{Définition de la règle}
\begin{rgl}
\normalfont
Soit $\di (w_n)_{n\in\N}$ une suite de nombres réels \textbf{strictement positifs} telle que : 
$$\exists (\alpha, \beta)\in\R_{+}^{*} \times ]1, +\infty[ \mbox{ tel que } \frac{w_{n+1}}{w_n}=1-\frac{\alpha}{n}+O\left(\frac{1}{n^{\beta}}\right)$$

\begin{enumerate}
	\item Si $\di \alpha \le 1$ alors la série $\di \sum w_k$ diverge
	\item Si $\di \alpha > 1$ alors la série $\di \sum w_k$ converge
\end{enumerate}
\end{rgl}

\section{Application}
\begin{exo}
\normalfont
Déterminer la nature la série de terme général suivant : 
$$a_n = \prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}$$  
\end{exo}
\begin{proof}
\normalfont
On a : 
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\prod_{k=1}^{n+1}\frac{2k}{2k+1}\right)\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}\right)^{-1}=\frac{2(n+1)}{2(n+1)+1}=\frac{2n+2}{2n+3} \longrightarrow 1 \mbox{ quand } n\rightarrow+\infty$$
La règle de d'Alembert ne permet pas de conclure. Mais 
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{3}{2n}\right)^{-1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left[1-\frac{3}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
D'après le critère de Raabe-Duhamel avec $\di \alpha = \frac{1}{2}<1$, la série diverge. 
\end{proof}

\begin{exo}
\normalfont
Déterminer la nature de la série de terme général suivant : 
$$b_n = \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2 }$$  
\end{exo}
\begin{proof}
On a : 
$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(2(n+1))!}{2^2 2^{n}((n+1)!)^2} \times \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{4(n+1)^2}=\frac{2n+1}{2(n+1)}\longrightarrow 1 \mbox{ quand } n \rightarrow +\infty $$
La règle de d'Alembert ne permet pas de conclure. Mais 
$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2n+1}{2n+2}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)\left[1-\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
D'après le critère de Raabe-Duhamel avec $\di \alpha = \frac{1}{2}<1$, la série diverge. 
\end{proof}

\begin{exo}
\normalfont
Déterminer la nature de la série de terme général suivant : 
$$c_n = \frac{a(a+1)\times ... \times (b+n-1)}{b(b+1) \times ... \times (b+n-1)}$$  
\end{exo}
\begin{proof}
On a : 
$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{a(a+k)}{b(b+k)}\right)\left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{a(a+k)}{b(b+k)}\right)^{-1}=\frac{a+n}{b+n} \longrightarrow 1 \mbox{ quand } n \rightarrow +\infty$$
La règle de d'Alembert ne permet pas de conclure. Mais 
$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{b}{n}\right)^{-1}=\left(1+\frac{a}{n}\right)\left[1-\frac{b}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]=1-\frac{b-a}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
D'après le critère de Raabe-Duhamel, il y a deux cas à distinguer : 
\begin{enumerate}
	\item Si $\di b-a>1$ alors la série converge.
	\item Si $\di b-a\le 1$ alors la série diverge.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{exo}
\normalfont
Déterminer la nature de la série de terme général suivant : 
$$d_n = \prod_{p=1}^{n}\left(1-\exp\left(\frac{1}{p}\right)\right)$$  
\end{exo}
\begin{proof}
On a \\
$$\frac{d_{n+1}}{d_n}=2-\exp\left(\frac{1}{n}\right) \longrightarrow 1 \mbox{ quand } n \rightarrow +\infty$$
La règle de d'Alembert ne permet pas de conclure. Mais
$$\frac{d_{n+1}}{d_n}=2-\exp\left(\frac{1}{n}\right)=2-\left[1+\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right]\right)=1-\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
D'après le critère de Raabe-Duhamel avec $\di \alpha = 1\le 1$, la série diverge. 
\end{proof}

\begin{exo}
\normalfont
Déterminer la nature de la série de terme général suivant : 
$$e_n =\sqrt{n!} \prod_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{x}{\sqrt{k}}\right) \quad (x\in\R)$$  
\end{exo}
\begin{proof}
On a \\
$$\frac{e_{n+1}}{e_n}=\sqrt{\frac{(n+1)!}{n!}}\sin\left(\frac{x}{\sqrt{n+1}}\right)=\sqrt{n+1}\left[\frac{x}{\sqrt{n+1}}+\eps_n\right]=x \quad \Big(\eps_{n} \rightarrow 0 \mbox{ quand } n \rightarrow 0\Big)$$
Il y a trois cas à distinguer : 
\begin{enumerate}
	\item Si $x>1$ alors la série $\di \sum e_n$ diverge (Par le critère de d'Alembert).
	\item Si $x<1$ alors la série $\di \sum e_n$ converge (Par le critère de d'Alembert).
	\item Si $x=1$, le critère d'Alembert ne permet pas de conclure. Mais \\
	$$\frac{e_{n+1}}{e_n}=\sqrt{n+1}\sin\left(\frac{x}{\sqrt{n+1}}\right)=\sqrt{n+1}\left[\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{6(n+1)\sqrt{n+1}}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)\right]$$
	Donc $$\frac{e_{n+1}}{e_n}=1-\frac{1}{6n}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$
	D'après le critère de Raabe-Duhamel avec $\di \alpha = \frac{1}{6}\le 1$, la série $\di \sum e_n$ diverge. 
\end{enumerate}
\end{proof}

\moi

%%% FIN DOCUMENT %%%
\end{document}