%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% AUTEUR : Mohamed EL BACHIRI 						%%										%%
%% EMAIL 	: rifly01@gmail.com 						%%		LE 15 MAI 2007	%%
%% SITE 	: http://rifly01@free.fr 				%%										%%
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%% LES PACKAGES %%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}							%% Préciser le type du document %%
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,graphicx}		%% Un ensemble des packages indisponsable %%
\usepackage[francais]{babel}											%% Francaiser %%
\usepackage{color}																%% Gérer les couleurs	%%
%\usepackage[T1]{fontenc}													%% Gérer le codage des  caractères %%	
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%\usepackage{hyperref}														%% Gérer les liens internes %%														
\usepackage{amsthm}																%%	%%
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\usepackage{cancel}																%% Barrer ... %%

%% DIMENSIONS DE LA PAGE %%
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	\setlength{\headsep}{10pt}
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	\setlength{\textheight}{708pt}
%% FIN DIMENSION PAGE %%

%% DEFINITIONS THEOREMES %%
\newtheorem{Exc}{Exercice}
\newenvironment{Ex}{\begin{Exc}\normalfont}{\end{Exc} }
\newtheorem{corr}{Correction}
\newenvironment{cor}{\begin{corr}\normalfont}{\end{corr} }
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

%% DEFINITION ENSEMBLES %%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
%% FIN ENSEMBLES %%

%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%
	%% mise en forme %%
		\newcommand{\di}{\displaystyle}
	%% symboles %%
		\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
		\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
		\newcommand{\donneG}{\longmapsto}
		\newcommand{\donneP}{\mapsto}
		\newcommand{\ep}{\epsilon}
	%% vecteurs %%
		\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%% FIN COMMANDES PERSONNELLES %%

%% NUMEROTATION DES TITRES %%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
%% FIN NUMEROTATION DES TITRES %%


\newcommand{\tete}{
	{\noindent
      \textbf{Mohamed EL BACHIR}     	            % Auteur
      \hfill Année 2006-2007   \\  	              % Année
	}
	{\noindent
      \url{http://rifly01.free.fr}                % Module
      \hfill \textbf{\today}   \\  								% Numero de la feuille
	}
	\hrule
	\begin{center} 
	\Large \textbf{Polynômes }
	\end{center}
	\hrule
	\noindent \\
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEBUT DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\tete

\section{Type 01}

\begin{Ex}
Calculer le coefficient de $\di x^3$ dans le développement de :
$$\left(2x-\frac{1}{4x^2}\right)^{12}$$
\end{Ex}
\begin{cor}
On a : 
\begin{eqnarray*}
\left(2x-\frac{1}{4x^2}\right)^{12} & = & \sum_{k=0}^{12} {12 \choose k}(2x)^{k}\left(-\frac{1}{4x^2}\right)^{12-k} \\
& = & \sum_{k=0}^{12} {12 \choose k}(-1)^{k}(2x)^{3k-24} \\ 
\end{eqnarray*} 
Alors : $\di 3k-24=3 \ssi  k=9 $, donc le coefficient de $\di x^3$ vaut : 

$$\frac{1}{x^3}\left[{12 \choose 9}(-1)^{9}(2x)^{3\times 9 -24}\right]= - \frac{12\times 11 \times 10 \times 8}{3 \times 2 \times 1}=-1760$$
\end{cor}

\section{Type 02}
\begin{Ex}
Déterminer le plus grand coefficient dans le développement de : 
$$\left(x+2\right)^9$$
\end{Ex}
\begin{cor}
On a : 
$$
\left(x+2\right)^{9}  =  \sum_{k=0}^{9} {9 \choose k}2^{9-k}x^{k} \\
$$
Alors : $\di \max\left[{9 \choose k}2^{9-k}\right] \ssi  k=3 $, donc le plus grand coefficient  vaut : 

$$\left[{9 \choose 3}2^{6}\right]=  \frac{\cancelto{3}{9} \times \cancel{8} \times 7 \times \cancel{6} \times \cancel{5} \times 4}{1 \times \cancel{2} \times \cancel{3} \times \cancel{4} \times \cancel{5} \times \cancel{6}} \times 2^6 = 3\times 4 \times 7 \times 2^{6}=5376$$
\end{cor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% FIN DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}