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\linespread{1.4}

%%% Théorèmes, définitions ...%%%
\newtheorem{defin}{Définition.}
\renewcommand{\thedefin}{}			%% Fin %%
\newtheorem{thm}{Théorème.}
\renewcommand{\thethm}{}			%% Fin %%
\newenvironment{prop}{\noindent \textbf{Proposition.}}{}
\newtheorem{lem}{Lemme.}
\renewcommand{\thelem}{}			%% Fin %%
\newtheorem{corol}{Corollaire.}
\renewcommand{\thecorol}{}			%% Fin %%
\newenvironment{ex}{\noindent \textbf{Exercice.}}{}
\newenvironment{remarque}{\noindent \textbf{Remarque.}}{}
\newenvironment{dem}{{\noindent \sc Démonstration.}}{\hspace{\stretch{1}}$\square$\vspace{0,2 cm}}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
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\newcommand{\E}{{\mathbb E}}
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\newcommand{\di}{\displaystyle}
\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}
\huge \textbf{Qu'est ce qu'une norme ?}
\end{center}

\begin{prop}
Soit $\di \E$ un espace vectoriel sur $\di \K$ ($\di \R$ ou $\di \C$) : 
$$\left\|.\right\| : \E \longrightarrow \R^{+}$$
\noindent est une norme si : 
\begin{enumerate}
	\item $\di\Big( \forall x\in\E, \left\|x \right\|\ge 0_{\E} \Big)$ et  $\di \Big( \left\|x \right\|=0_{\E} \Longleftrightarrow x=0_{\E} \Big)$.
	\item $\di \forall x\in\E, \lambda\in\K, \left\|\lambda x\right\|=|\lambda|\left\|x\right\| $.
	\item $\di \forall x,y\in\E$ :
	$$\left\|x+y\right\| \le \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$$
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{remarque}
Un espace vectoriel muni d'une norme est appelé un espace vectoriel normé.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La boule unité associée à une norme $\di N$ vérifie : 
$$B_u = \Big\{x\in\E \mbox{ tel que } N(x)\le 1\Big\}$$
\end{remarque}

\begin{flushright}
--- \emph{Mohammed EL BACHIR} ---
\end{flushright}





\end{document}








