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%% AUTEUR : Mohamed EL BACHIRI 						%%										%%
%% EMAIL 	: rifly01@gmail.com 						%%		LE 15 MAI 2007	%%
%% SITE 	: http://rifly01@free.fr 				%%										%%
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%% LES PACKAGES %%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}							%% Préciser le type du document %%
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,graphicx}		%% Un ensemble des packages indisponsable %%
\usepackage[francais]{babel}											%% Francaiser %%
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%% DIMENSIONS DE LA PAGE %%
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%% FIN DIMENSION PAGE %%

%% DEFINITIONS THEOREMES %%
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{indice}{Indication}
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

%% DEFINITION ENSEMBLES %%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
%% FIN ENSEMBLES %%

%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%
	%% mise en forme %%
		\newcommand{\di}{\displaystyle}
	%% symboles %%
		\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
		\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
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		\newcommand{\donneP}{\mapsto}
		\newcommand{\ep}{\epsilon}
	%% vecteurs %%
		\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%% FIN COMMANDES PERSONNELLES %%

%% NUMEROTATION DES TITRES %%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
%% FIN NUMEROTATION DES TITRES %%


\newcommand{\tete}{
	{\noindent
      \textbf{Mohamed EL BACHIR}     	            % Auteur
      \hfill Année 2006-2007   \\  	              % Année
	}
	{\noindent
      \url{http://rifly01.free.fr}                % Module
      \hfill \textbf{\today}   \\  % Numero de la feuille
	}
	\hrule
	\begin{center} 
	\Large \textbf{Inégalité de Cauchy-Schwarz}
	\end{center}
	\hrule
	\noindent \\
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEBUT DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\tete

\section{Avec les intégrales}

\noindent Soient $\di f,g \in\mathcal{C}\Big([a,b],\R\Big)$. Alors :
$$\int_{a}^{b}\left|fg\right| \le \left(\int_{a}^{b}\left|f\right|^2\right)^{1/2} \left(\int_{a}^{b}\left|g\right|^2\right)^{1/2}$$

\section{Démonstration}
\noindent On considère, pour tout $\di \lambda \in \R$ :
$$P(\lambda) = \int_{a}^{b}\left|\lambda f+g\right|^2$$
Donc : 
$$P(\lambda)=\lambda^2 \int_{a}^{b}\left|f\right|^2+2\lambda \int_{a}^{b}\left|fg\right|+\int_{a}^{b}\left|g\right|^2$$

\noindent $P$ est un polynôme $\di \lambda$ de degré 2, toujours positif, donc ne s'annule jamais. D'où $\di \Delta \le 0$ 
$$\Delta =b^2-4ac \le 0 \Rightarrow  4\int_{a}^{b}\left|fg\right|^2-4\int_{a}^{b}\left|f\right|^2 \int_{a}^{b}\left|g\right|^2 \le 0$$
Finalement, on a le résultat : 
$$\int_{a}^{b}\left|fg\right| \le \left(\int_{a}^{b}\left|f\right|^2\right)^{1/2} \left(\int_{a}^{b}\left|g\right|^2\right)^{1/2}$$

\clearpage

\section{Avec les sommes}

\noindent Soient $\di (a_1,...,a_n,b_1,...,b_n)\in\C^{n^2}$. Alors :
$$\sum_{k=1}^{n}\left|a_k b_k\right| \le \left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_k\right|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_k\right|^2\right)^{1/2}$$

\section{Démonstration}
\noindent On considère, pour tout $\di \lambda \in \R$ :
$$P(\lambda) =\sum_{k=1}^{n}\left|\lambda a_k+b_k\right|^2$$
Donc : 
$$P(\lambda)=\lambda^2 \sum_{k=1}^{n}\left|a_k\right|^2+2\lambda \sum_{k=1}^{n}\left|a_k b_k\right|+\sum_{k=1}^{n}\left|b_k\right|^2$$

\noindent $P$ est un polynôme $\di \lambda$ de degré 2, toujours positif, donc ne s'annule jamais. D'où $\di \Delta \le 0$ 
$$\Delta =b^2-4ac \le 0 \Rightarrow  4\sum_{k=1}^{n}\left|a_k b_k\right|^2-4\sum_{k=1}^{n}\left|a_k\right|^2 \sum_{k=1}^{n}\left|b_k\right|^2 \le 0$$
Finalement, on a le résultat : 
$$\sum_{k=1}^{n}\left|a_k b_k\right| \le \left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_k\right|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_k\right|^2\right)^{1/2}$$

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%% FIN DU DOCUMENT %%
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\end{document}