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%% DEFINITIONS THEOREMES %%
\newtheorem{Exc}{Exercice}
\newenvironment{Ex}{\begin{Exc}\normalfont}{\end{Exc} }
\newtheorem{corr}{Correction}
\newenvironment{cor}{\begin{corr}\normalfont}{\end{corr} }
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

%% DEFINITION ENSEMBLES %%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
%% FIN ENSEMBLES %%

%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%
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		\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
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		\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%% FIN COMMANDES PERSONNELLES %%

%% NUMEROTATION DES TITRES %%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
%% FIN NUMEROTATION DES TITRES %%

%% ENTETE %%
\newcommand{\tete}{
	{\noindent
      \textbf{Mohamed EL BACHIR}     	% Auteur
      \hfill Année 2006-2007   \\  	    % Année
	}
	{\noindent
      \url{http://rifly01.free.fr}      % Module
      \hfill \textbf{\today}   \\  		% Numero de la feuille
	}
	\hrule
	\begin{center} 
	\Large \textbf{ Intégrales de Wallis et calcul de $\di \int_{0}^{+\infty }e^{-x^2}dx$}
	\end{center}
	\hrule
	\noindent \\
}
%% FIN ENTETE %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEBUT DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\tete
\begin{Ex}
Pour tout entier naturel $n$, on considère l'intégrale : 
$$I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^ntdt$$
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $n$, 
		$$ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n$$
	\item Montrer que pour tout $n$, 
		$$(n+1)I_{n+1}I_n =\frac{\pi}{2}$$
	\item Montrer que pour tout $n$, 
		$$ \frac{n+1}{n+2}\le \frac{I_{n+1}}{I_n} \le 1$$
	\item Montrer que la suite $\di \sqrt{n}I_n$ est convergente et calculer sa limite.
	\item Montrer que pour tout réel $\di u$ et tout entier naturel $\di n$ :
		$$u \ge -n \quad \imp \quad \left(1+\frac{u}{n}\right)^n \le e^{u}$$
	\item Montrer que pour tout entier naturel $\di n \ge 1$ :
		$$\forall t\in [0,\sqrt{n}] \quad \quad \left(1-\frac{t^2}{n}\right)^n\le e^{-t^2}\le \frac{1}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n} $$
	\item Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on pose 
		$$J_n =\int_{0}^{\sqrt{n}}e^{-t^2}dt$$
		Déduire de la réponse $6)$ un encadrement de $\di J_n$ à l'aide de $n$, $\di I_{2n+1}$ et $\di I_{2n-2}$.
	\item En déduire la valeur de l'intégrale :
		$$J=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}dt$$
	\end{enumerate}
\end{Ex}
\clearpage
\begin{cor}
\begin{enumerate}
	\item Intégrons par parties l'intégrale : 
	$$I_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n+2}tdt$$
	$\di 
	\left\{
		\begin{array}{llll}
			u'(t) = \cos t				& & &  u(t)=\sin t \\
			v(t)  = \cos^{n+2}t 	& & &  v'(t)=-(n+1)\sin t \cos^n t
		\end{array}
		\right.
	$
	\begin{eqnarray*}
I_{n+2} & = & \Big[\sin t \cos^{n+1} t\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2} t cos^{n} t dt \\
				& = & (n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(1-\cos^2t\Big)\cos^n tdt\\
				& = & (n+1)(I_n-I_{n+2})
	\end{eqnarray*}
	D'où : $\di (n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$
	\item En multipliant par $\di I_{n+1}$ les deux membres de l'égalité précédente, on obtient : 
	$$(n+2)I_{n+2}I_{n+1}=(n+1)I_{n+1}I_n$$
	La suite $\di \Big((n+1)I_{n+1}I_n\Big)_{n\in\N}$ est donc constante, or : $\di I_{0}=\frac{\pi}{2}$ et $\di I_{1}=1$, d'où : 
	$$\forall n\in \N \quad \quad (n+1)I_{n+1}I_{n}=\frac{\pi}{2}$$ 
	\item On sait que pour tout $\di t \in \Big[0 ,\frac{\pi}{2}\Big], 0\le \cos t \le 1$ et donc que pour tout $\di n\in\N, \cos^{n+1} t \le cos^{n}t$. \\
	On en ddéduit que : 
		$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n+1}t dt \le \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}tdt $$
	C'est-à-dire $\di I_{n+1}\le I_{n}$ : la suite $\di (I_n)_{n\in\N}$ est décroissante. \\
	On a donc pour tout $\di n\in\N$ : 
	$$I_{n+2}\le I_{n+1}$$
	En multipliant les deux membres par $\di n+2$, on obtient : 
	$$(n+2)I_{n+2}\le (n+2)I_{n+1}$$
	D'où : $\di (n+1)I_{n}\le (n+2)I_{n+1}$
	\\
	En définitive, on a montré que : 
		$$\forall n\in\N \quad \quad \frac{n+1}{n+2} \le \frac{I_{n+1}}{I_n}\le 1$$
	\item D'après le théorème d'encadrement : 
	$$\lim_{n\to +\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=1$$
	Ce qui signifie que $\di I_{n+1}$ est équivalent à $\di I_n$ quand $\di n \longrightarrow +\infty$. De la relation $\di 2)$, on déduit que $\di nI_{n}^{2}$ est équivalent à $\di \frac{\pi}{2}$. La suite $\di \Big(\sqrt{n}I_{n}\Big)_{n\in\N}$ converge donc vers $\di \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.
	\item Pour tout réel $\di x\in\Big[-1, +\infty\Big[, \quad \ln(1+x)\le x$. \\
	On a donc pour tout entier $n$ et tout réel $\di u\ge -n$ :
	\\
	$\di \ln\left(1+\frac{u}{n}\right) \le \frac{u}{n}$, d'où :
	$$n\ln\left(1+\frac{u}{n}\right) \le u \mbox{ }\mbox{ et }\mbox{ } \left(1+\frac{u}{n}\right)^n\le e^{u}$$
	\item Pour  $\di t\in\Big[0,\sqrt{n}\Big]$, on peut appliquer l'inégalité précédente au réel $\di u=-t^2$ :
	$$\left(1-\frac{t^2}{n}\right) \le e^{-t^2}$$
	ainsi qu'au réel $\di u = t^2$ :
	$$\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{n} \le e^{t^2}$$
	d'où l'on déduit en passant aux inverses:
	$$e^{-t^2} \le \frac{1}{\Big(1+\frac{t^2}{n}\Big)^n}$$
	En définitive, on a montré que : 
	$$\Big(1-\frac{t^2}{n}\Big)^{n} \le e^{-t^2} \le \frac{1}{\Big(1+\frac{t^2}{n}\Big)^n}$$
	\item En intégrant sur le sugment $\di \Big[0, \sqrt{n}\Big]$, on déduit : 
	$$K_n \le \int_{0}^{\sqrt{n}}e^{-t^2}dt\le I_n$$
	où :
	$$K_n =\int_{0}^{\sqrt{n}}\Big(1-\frac{t^2}{n}\Big)^n dt \quad,\quad L_n=\int_{0}^{\sqrt{n}}\frac{dt}{\Big(1+\frac{t^2}{n}\Big)^n}dt$$
	Dans $\di K_n$, effectuons le changement de variable : $\di t=\sqrt{n} \sin u$ et $\di dt =\sqrt{n}\cos u du$ :
	$$K_n =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{n}\cos^{2n+1} u du = \sqrt{n} I_{2n+1}$$
	Dans $\di L_n$, effectuons le changement de variable : $\di t = \sqrt{n} \tan u$ et $\di dt = \frac{\sqrt{n}}{\cos^{2}u} du$.
	$$L_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{n}\cos^{2n-2}u du \le \sqrt{n} I_{2n-2}$$
	En définitive :
	$$\sqrt{n} I_{2n-2} \le \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-t^2} dt \le \sqrt{n}I_{2n-2}$$
	\item On sait que $\di I_{2n+1}$ et $\di I_{2n-2}$ sont équivalents à : $\di \sqrt{\frac{\pi}{4n}}$. D'où :
	$$\lim_{n\to +\infty} \sqrt{n} I_{2n+1}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}I_{2n-2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
	D'après le théorème d'encadrement, on en déduit : 
	$$\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
		\end{enumerate}
\end{cor}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% FIN DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}