%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% AUTEUR : Mohamed EL BACHIRI 						%%										%%
%% EMAIL 	: rifly01@gmail.com 						%%		LE 15 MAI 2007	%%
%% SITE 	: http://rifly01@free.fr 				%%										%%
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%% LES PACKAGES %%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}							%% Préciser le type du document %%
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,graphicx}		%% Un ensemble des packages indisponsable %%
\usepackage[francais]{babel}											%% Francaiser %%
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%% DIMENSIONS DE LA PAGE %%
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%% FIN DIMENSION PAGE %%

%% DEFINITIONS THEOREMES %%
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{indice}{Indication}
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

%% DEFINITION ENSEMBLES %%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
%% FIN ENSEMBLES %%

%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%
	%% mise en forme %%
		\newcommand{\di}{\displaystyle}
	%% symboles %%
		\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
		\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
		\newcommand{\donneG}{\longmapsto}
		\newcommand{\donneP}{\mapsto}
		\newcommand{\ep}{\epsilon}
	%% vecteurs %%
		\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%% FIN COMMANDES PERSONNELLES %%

%% NUMEROTATION DES TITRES %%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
%% FIN NUMEROTATION DES TITRES %%


\newcommand{\tete}{
	{\noindent
      \textbf{Mohamed EL BACHIR}     	            % Auteur
      \hfill Année 2006-2007   \\  	              % Année
	}
	{\noindent
      \url{http://rifly01.free.fr}                % Module
      \hfill \textbf{\today}   \\  % Numero de la feuille
	}
	\hrule
	\begin{center} 
	\Large \textbf{Equation de second degré et systèmes}
	\end{center}
	\hrule
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEBUT DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\tete

\section{Une équation de second ordre }

\noindent Une équation de second degré s'écrit : 
$$aX^2+bX+c =0 $$
Or, elle s'écrit également, 
\begin{eqnarray*}
aX^2+bX+c = 0 & \ssi & a\left(X-x_1\right)\left(X-x_2\right) = 0\\
							& \ssi & a\Big[X^2-\left(x_1+x_2\right)X+x_1\cdot x_2\Big] = 0 \\
							& \ssi & X^2-\left(x_1+x_2\right)X+x_1\cdot x_2 = 0
\end{eqnarray*}
Ainsi, on a donc un système, 
$$
\left\{
\begin{array}{lll}
 x_1+x_2 				& =  & -b  \\
 x_1\cdot x_2  	& =  &  c 
\end{array}
\right.
$$
\section{Application à une équation d'ordre 3}
\noindent Une équation d'ordre trois s'écrit : 
$$aX^3+bX^2+cX+d =0 $$
Or, elle s'écrit également, 
\begin{eqnarray*}
aX^3+bX^2+cX+d = 0 & \ssi & a\left(X-x_1\right)\left(X-x_2\right)\left(X-x_3\right) = 0\\
							     & \ssi & X^3-\left(x_1+x_2+x_3\right)X^2+(x_1 x_2+x_2 x_3+x_1  x_3)X-x_1  x_2 x_3 = 0
\end{eqnarray*}
Ainsi, on a donc un système, 
$$
\left\{
\begin{array}{lll}
 x_1+x_2 +x_3							& =  & -b  \\
 x_1 x_2+x_2 x_3+x_1  x_3 & =  & c \\
 x_1\cdot x_2 \cdot x_3  	& =  &  -d 
\end{array}
\right.
$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% FIN DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}