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\linespread{1.4}
%%% Théorèmes, définitions ...%%%
\newtheorem{defin}{Définition.}
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\newtheorem{corol}{Corollaire.}
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\newenvironment{ex}{\noindent \textbf{Exercice.}}{}
\newenvironment{me}{\noindent \textbf{Méthode.}}{}
\newenvironment{dem}{{\noindent \sc Démonstration.}}{\hspace{\stretch{1}}$\square$\vspace{0,2 cm}}
\newenvironment{corr}{{\noindent\textbf{Correction.}}}{\hspace{\stretch{1}}$\square$\vspace{0,2 cm}}
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}
\Large \textsc{Autour de Ces\'aro}
\end{center}



\begin{thm}
 Soit $\di (u_n)$ une suite de réels convergente vers $\di \ell \in \overline{\R}$ alors la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par 
 $$w_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k$$
 converge également vers $\di \ell$ 
\end{thm}


\begin{dem}
Par définition, on a :
\\
$\di \forall \eps \in\R_{+}^{*}, \exists n_0 \in\N^{*}$ tel que : 
$$\forall n\ge n_0 \Rightarrow |w_n - \ell|\le \eps$$
Pour tout $\di n\ge n_0$ on a
\begin{eqnarray*}
\forall n\ge n_0, \mbox{ on a } w_n-\ell 	 & = & \left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}u_k \right) - \ell \\
																					 & = & \frac{(u_1+u_2+...+u_n)-n \ell}{n} \\
																					 & = & \frac{(u_1-\ell)+(u_2-\ell)+...+(u_n-\ell)}{n} \\
																					 & = & \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\Big(u_n-\ell\Big)
\end{eqnarray*}

\noindent Ainsi on a :

\begin{eqnarray*}
\forall n\ge n_0, \mbox{ on a } |w_n-\ell| & \le & \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}|u_k-\ell| \\
																					 & \le & \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0}|u_k-\ell| + \frac{1}{n}\sum_{k=n_0+1}^{n}|u_k-\ell| 															 
\end{eqnarray*}

\noindent On pose $\di A_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0}|u_k-\ell| \longrightarrow 0$ lorsque $\di n \longrightarrow +\infty$ car $\di nA_n$ ne dépend pas de $n$.
\\
\noindent Donc $\di \exists n_1\in\N^{*}$ tel que 
$$\forall n\ge n_1 \Rightarrow |A_n|\le \eps$$
Pour $\di n > \max(n_0,n_1)$ on a alors 
\begin{eqnarray*}
|w_n-\ell| & \le & A_n + \frac{1}{n}\sum_{k=n_0+1}^{n}\underbrace{|u_k-\ell|}_{\le \eps} \\
					 & \le & \eps +\underbrace{\frac{n-n_0}{n}}_{<1}\eps \\
					 & \le & 2\eps
\end{eqnarray*}
\end{dem}

\begin{ex}
$\di(u_n)$ et $\di(v_n)$ deux suites telles que 
$$\forall n \ge 1, \quad v_n = a_n-a_{n-1}, \quad a_0 = 0 \quad \mbox{et} \quad \lim_{n\to+\infty} v_n =\ell$$
\end{ex}
\begin{corr}
D'après le principe de Ces\'aro :
$$\lim_{n\to+\infty}v_n=\ell \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}\frac{v_1+v_2+...+v_{n-1}+v_{n}}{n}=\ell$$
Or ici, 
$$\frac{v_1+v_2+...+v_{n-1}+v_n}{n}=\frac{a_n-a_{0}}{n}=\frac{a_n}{n}$$
Remarque : Si $\di a_0\neq 0$, le résultat reste inchangé car $\di \frac{a_0}{n}\longrightarrow 0$ au voisinage de l'infini.
\end{corr}

\begin{ex}
Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs. 

\begin{enumerate}
	\item Montrer 
	$$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\ell > 0 \Longrightarrow \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = 		  \ell$$
	\item Déterminer $\di \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{n}$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{corr}
\begin{enumerate}
	\item On peut se ramener à l'exercice précédent avec :
$$\sigma_n = \ln\left(\frac{u_n}{u_{n-1}}\right) = \ln u_n - \ln u_{n-1}, \quad \mbox{et} \quad \lim_{n\to+\infty}\ln \sigma_n =\ln \ell \qquad (\forall n\ge 1)$$
D'où :
$$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln u_n}{n} = \ln \ell \Longrightarrow \lim_{n\to +\infty} \ln \sqrt[n]{u_n}=\ln \ell \Longrightarrow \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{u_n}=\ell$$
	\item On pose $\di u_n = n$ donc : 
	$$u_n = n \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1>0 \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}=1$$
\end{enumerate}
\end{corr}


\begin{ex}
Soit $\di (u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle. On définit la suite $\di (w_n)_{n\in\N^*}$ par : 
$$v_n = \frac{u_1+2u_2+...+nu_n}{n^2}$$
Montrer que si la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente, alors la suite $\di (w_n)_{n\in\N^*}$ est convergente.
\end{ex}

\begin{corr}
Soit $\di \ell $ la limite de la suite $\di (u_n)_{n\in\N}$, on écrit :
$$w_n - \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\ell = w_n-\frac{n+1}{2n}\ell = \frac{(u_{1}-\ell)+2(u_n-\ell)+...+n (u_n-\ell)}{n^2}$$
Or : 
$$\lim_{n\to +\infty}\left(w_n-\frac{n+1}{2n}\ell\right)=0 \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty} w_n = \frac{\ell}{2}$$
\end{corr}



\end{document}