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%% DIMENSIONS DE LA PAGE %%
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%% FIN DIMENSION PAGE %%

%% DEFINITIONS THEOREMES %%
\newtheorem{Exc}{Exercice}
\newenvironment{Ex}{\begin{Exc}\normalfont}{\end{Exc} }
\newtheorem{corr}{Correction}
\newenvironment{cor}{\begin{corr}\normalfont}{\end{corr} }
\newtheorem{Def}{Définition}
\newenvironment{De}{\begin{Def}\normalfont}{\end{Def} }
\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newenvironment{Pro}{\begin{Prop}\normalfont}{\end{Prop} }
\newtheorem{Demo}{Démonstration}
\newenvironment{Dem}{\begin{Demo}\normalfont}{\end{Demo} }
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

%% DEFINITION ENSEMBLES %%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
%% FIN ENSEMBLES %%

%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%
	%% mise en forme %%
		\newcommand{\di}{\displaystyle}
	%% symboles %%
		\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
		\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
		\newcommand{\donneG}{\longmapsto}
		\newcommand{\donneP}{\mapsto}
		\newcommand{\ep}{\epsilon}
		\newcommand{\CQFD}{\hfill \blacksquare}
	%% vecteurs %%
		\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%% FIN COMMANDES PERSONNELLES %%

%% NUMEROTATION DES TITRES %%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
%% FIN NUMEROTATION DES TITRES %%


\newcommand{\tete}{
	{\noindent
      \textbf{Mohamed EL BACHIR}     	            %% Auteur
      \hfill Année 2006-2007   \\  	            	%% Année
	}
	{\noindent
      \url{http://rifly01.free.fr}                 	%% Module
      \hfill \textbf{\today}   \\  % Numero de la feuille
	}
	\hrule
	\begin{center} 
	\Large \textbf{ Les matrices }
	\end{center}
	\hrule
	\noindent \\
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEBUT DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\tete

\begin{Ex}
Pour $\di \alpha \in\R$, on considère la matrice $\di A_{\alpha} \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ suivante :
$$A_{\alpha}= 
\begin{pmatrix}
0 & \alpha   & 1 \\
1 & 1+\alpha & 1 \\
1 & \alpha   & 2 
\end{pmatrix}
$$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le rang de la matrice $\di A_{\alpha}$ en discutant selon les valeurs de $\di \alpha $.
	\item Montrer qu'elle est inversible si et seulement si $\alpha \neq 1$.
\end{enumerate}
\end{Ex}

\begin{cor}
\begin{enumerate}
	\item On cherche le déterminant de $\di A_{\alpha}$,
	$$A_{\alpha} = 
	\begin{array}{|lll|}
	0 & \alpha    & 1 \\
	1 & 1+\alpha  & 1 \\
	1 & \alpha    & 2
	\end{array}
	=
	\begin{array}{|lll|}
	0 & \alpha    & 1 \\
	1 & 1+\alpha  & 1 \\
	0 & -1    		& 1
	\end{array}
	=
	\begin{array}{|lll|}
	0 & \alpha    & 1+\alpha \\
	1 & 1+\alpha  & 2+\alpha \\
	0 & -1    		& 0
	\end{array}
	=
	\left(1+\alpha \right)
	\begin{array}{|ll|}
	0 &  1 \\
	1 &  2+\alpha \\
	\end{array}
	=
	1+\alpha
	$$
	
\begin{enumerate}
	\item Si $\di \alpha \neq -1$, alors $\di \mbox{rg} A_{\alpha}=3$
	\item Si $\di \alpha = -1$, alors $\di \mbox{rg} A_{\alpha}=2$ car $\di C_3+C_2= C_1$
\end{enumerate}
	\item $\di A_{\alpha}$ est inversible $\di \ssi  \det A_{\alpha} \neq 0$ donc  si et seulement si $\di \alpha \neq -1$. 
\end{enumerate}
\end{cor}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% FIN DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}