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%% AUTEUR : Mohamed EL BACHIRI 						%%										%%
%% EMAIL 	: rifly01@gmail.com 						%%		LE 15 MAI 2007	%%
%% SITE 	: http://rifly01@free.fr 				%%										%%
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%% LES PACKAGES %%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}							%% Préciser le type du document %%
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,graphicx}		%% Un ensemble des packages indisponsable %%
\usepackage[francais]{babel}											%% Francaiser %%
\usepackage{color}																%% Gérer les couleurs	%%
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%% DIMENSIONS DE LA PAGE %%
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%% FIN DIMENSION PAGE %%

%% DEFINITIONS THEOREMES %%
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{indice}{Indication}
%% FIN DEFINITIONS THEOREMES %%

%% DEFINITION ENSEMBLES %%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
%% FIN ENSEMBLES %%

%% MES COMMANDES PERSONNELLES %%
	%% mise en forme %%
		\newcommand{\di}{\displaystyle}
	%% symboles %%
		\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
		\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
		\newcommand{\donneG}{\longmapsto}
		\newcommand{\donneP}{\mapsto}
		\newcommand{\ep}{\epsilon}
	%% vecteurs %%
		\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
%% FIN COMMANDES PERSONNELLES %%

%% NUMEROTATION DES TITRES %%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
%% FIN NUMEROTATION DES TITRES %%


\newcommand{\tete}{
	{\noindent
      \textbf{Mohamed EL BACHIR}     	            % Auteur
      \hfill Année 2006-2007   \\  	              % Année
	}
	{\noindent
      \url{http://rifly01.free.fr}                % Module
      \hfill \textbf{\today}   \\  % Numero de la feuille
	}
	\hrule
	\begin{center} 
	\Large \textbf{Trouver les $\Delta$ des équations}
	\end{center}
	\hrule
}



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%% DEBUT DU DOCUMENT %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\tete


\section{Une éqution de second ordre}
\noindent Une éqution de second ordre s'écrit : 
$$P(X) = aX^2+bX+c =0$$
$\di P(X)=0$ a une racine double, si et seulement si, 
$$P'(\alpha)=2a\alpha +b =0 \ssi \alpha = -\frac{b}{2a}$$
De plus, $\di P(\alpha)=0$ admet deux racines distincts réelles, si et seulement si, 
\begin{eqnarray*}
P(\alpha) =  0 & \ssi & a\alpha^2+b\alpha+c = 0 \\
	 	      & \ssi & a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c = 0 \\
	 	      & \ssi & \frac{-b^2+4ac}{4a} = 0  \\
	 	      & \ssi & b^2-4ac = 0
\end{eqnarray*}
\section{Une équation d'ordre 3}
\noindent Une éqution d'ordre 3 s'écrit : 
$$P(X) = X^3+pX+q =0$$
Les seules valeurs possibles pour que $\di P(X)=0$ ait une racine double, 
$$P'(\alpha)=3\alpha^2 +p =0 \ssi \alpha_1 = \sqrt{-\frac{p}{3}} \mbox{ ou }\alpha_2=-\sqrt{-\frac{p}{3}} \mbox{ } \mbox{ avec } p \le 0$$
De plus, $\di P(\alpha)=0$ admet une racine double, si et seulement si, 
\begin{eqnarray*}
P(\alpha_1) =  0 & \ssi & \alpha_{1}^{3}+p\alpha_{1}+q = 0 \\
	 	      & \ssi & \left(\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)^3+p\left(\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)+q = 0 \\
	 	      & \ssi & \frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}}+q = 0  
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P(\alpha_2) =  0 & \ssi & \alpha_{2}^{3}+p\alpha_{2}+q = 0 \\
	 	      & \ssi & \left(-\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)^3+p\left(-\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)+q = 0 \\
	 	      & \ssi & q-\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}} = 0  
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P(\alpha_1)\times P(\alpha_2) = 0 & \ssi & \left(q+\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)\left(q-\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{p}{3}}\right) = 0 \\
	 	      & \ssi & q^2+\frac{4p^3}{27} = 0 \\
	 	      & \ssi & 27q^2+4p^3 = 0  
\end{eqnarray*}





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%% FIN DU DOCUMENT %%
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\end{document}