\documentclass[12pt]{article}
% Packages 
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						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
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						right=1.5cm,
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% Fin packages 

% Numérotation
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
% Fin numérotation

% Environnement
\newtheorem{exercice}{Exercice}
	\newenvironment{exo}
		{\begin{exercice}\normalfont} {\end{exercice}}
		
\newtheorem{corrige}{Corrigé}
	\newenvironment{corr}
		{\begin{corrige}\normalfont} {\end{corrige}}

\newtheorem{methode}{Méthode}
	\newenvironment{modo}
		{\begin{methode}\normalfont}	{\end{methode}}

\newtheorem{definition}{Définition}
	\newenvironment{defi}
		{\begin{definition}\normalfont}	{\end{definition}}
		
\newtheorem{theoreme}{Théorème}
	\newenvironment{theo}
		{\begin{theoreme}\normalfont}	{\end{theoreme}}
% Fin environnement

% Ensembles
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}  % L'ensemble des réels
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}  % L'ensemble des Entiers
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}  % L'ensemble des rationnels
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\newcommand{\C}{{\mathbb C}}  %	L'ensemble des complexes
\newcommand{\F}{{\mathbb F}}  % L'ensemble F
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\newcommand{\E}{{\mathbb E}}  % L'ensemble E
\newcommand{\U}{{\mathbb U}}  % L'ensemble U
% Fin ensembles

% Symboles 
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\dron}{\partial}						% Dérivées partielles
	\newcommand{\dive}{{\mbox{div}}}  			% Divergence
	\newcommand{\rot}{{\mbox{\vect{rot}}}}  % Rotationnel
	\newcommand{\im}[1]{\mbox{Im}(#1)}
	\newcommand{\mcal}[1]{\mathcal{#1}}
% Fin symboles

% Autres
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout
% Fin Autres

% Mes fonctions
	\newcommand{\titre}[1]{
		\begin{center}
			\Huge \textbf{#1}
		\end{center}
	}
% Fin fonctions

% Entête
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Intégration : Révisions des théorèmes du cours}}
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	\addtolength{\headheight}{12.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}							
    \fancyhead[L]{}
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    }
	\linespread{1.4}
% Fin entête

% Auteur 
	\newcommand{\auteur}{
		\begin{flushright}
		\href{http://prepamp.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
		\end{flushright}
	}	
% Auteur

\begin{document}

\titre{Intégration : Théorèmes du cours}


\section{Intégration sur intervalle quelconque}

\begin{theo}
\textbf{Inégalité de la moyenne}
\noindent 
\newline
\noindent 
Si $f$ une fonction continue par morceaux sur $\K =[a,b]$. S'il existe  $m$ et $M$ tels que pour tout $t\in\K$ \[m\le f(t) \le M \qquad \mbox{ alors }\qquad m\le \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt\le M\]
\end{theo}

\begin{theo}
\textbf{Egalité de la moyenne}
\noindent 
\newline
\noindent 
Si $f$ une fonction continue sur $\K = [a,b]$, alors il existe $c\in\K$ tel que \[\Big(b-a\Big)f(c)=\int_{a}^{b}f(t)dt \ssiG f(c) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt\]
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Intégrale dépendant d'un paramètre : Continuité sur un segment}
\noindent 
\newline
\noindent 
Si $t\longmapsto f(x,t)$ une fonction continue sur $\K \times [a,b]$, alors $F$ est continue sur $\K$.
\end{theo}

\begin{theo}
\textbf{Intégrale dépendant d'un paramètre : Dérivabilité}
\noindent 
\newline
\noindent 
Si $\frac{\partial f}{\partial x}$ est continue sur $\K \times [a,b]$, alors $F$ est $\mcal{C}^{1}$ sur $\K$ et $F'(x)= \int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Une condition de convergence.}
\noindent 
\newline
\noindent 
S'il existe $\alpha>1$ tel que $\lim_{x\to+\infty}x^{\alpha}f(x)=0$ alors $\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$ est absolument convergente.
\end{theo}



\begin{theo}
\textbf{Changement de variable}
\noindent 
\newline
\noindent 
Si $f$ est continue sur $[c,d]$ et si $u$ une fonction bijective de $[a,b]$ dans $[c,d]$ et de classe $\mcal{C}^{1}$, alors 
\[\int_{c}^{d}f(z)dz = \int_{u^{-1}(c)=a}^{u^{-1}(d)=b}f\Big(u(t)\Big)\cdot u'(t)dt\]
On dit alors qu'on a fait le changement de variable $z=u(t)$.
\end{theo}

\begin{theo}
\textbf{Convergence dominée}
\noindent 
\newline
\noindent 
On se donne une suite de fonctions $\Big(f_n\Big)_{n}$.
\begin{itemize}
	\item Les suites de fonctions $f_n$ sont continues sur tout segment $\K$,
	\item $f_n$ converge simplement vers une fonction $f$ continue par morceaux sur tout segment $\K$,
	\item S'il existe une fonction $h$ continue par morceaux sur tout segment de $\K$ telle que 
	\[\forall t\in\K, \forall n\in\N , \Big|f_n(t)\Big| \le h(t) \quad \mbox{ et } \quad \int_{a}^{b}h(t)dt \mbox{ est convergente}\]
\end{itemize}
Alors $\forall n\in\N$, $\int_{a}^{b}f_n(t)dt$ est absoluement convergente, donc convergente, ainsi que 
\[\int_{a}^{b}f_n(t)dt = \int_{a}^{b}\lim_{n\to+\infty}\Big(f_n(t)\Big)dt = \int_{a}^{b}f(t)dt\] 
\end{theo}
\newpage

\begin{theo}
\textbf{Résultats de continuité}
\noindent 
\newline
\noindent 
On se donne $f$, une fonction de deux variables définie sur $\K \times [a,b]$.
\begin{itemize}
	\item Pour tout $t\in [a,b]$, $x \longmapsto f(x,t)$ est continue sur $\K$,
	\item Pour tout $x\in \K$, $t \longmapsto f(x,t)$ est continue sur $[a,b]$,
	\item Il existe une fonction $h$ continue par morceaux sur tout segment de $[a,b]$ telle que 
	\[\forall x\in \K, \forall t\in[a,b], \Big|f(x,t)\Big| \le h(t) \quad \mbox{ et } \quad \int_{a}^{b}h(t)dt \mbox{ est convergente}\]
\end{itemize}
Alors $F(x)=\int_{a}^{b}f(x,t)dt$ est définie (intégrable) et continue sur $\K$. 
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Résultats de dérivabilité}
\noindent 
\newline
\noindent 
On se donne $f$, une fonction de deux variables définie sur $\K \times [a,b]$.
\begin{itemize}
	\item Pour tout $t\in [a,b]$, $x \longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $\K$,
	\item Pour tout $x\in \K$, $t \longmapsto \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)$ est continue sur $[a,b]$,
	\item Il existe une fonction $h$ continue par morceaux sur tout segment de $[a,b]$ telle que 
	\[\forall x\in \K, \forall t\in[a,b], \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| \le h(t) \quad \mbox{ et } \quad \int_{a}^{b}h(t)dt \mbox{ est convergente}\]
	\item Pour tout $x\in \K$, $t \longmapsto f(x,t)$ est continue sur $[a,b]$ et $\int_{a}^{b} f(x,t)dt$ converge,
\end{itemize}
Alors $\forall x\in\K, F(x)=\int_{a}^{b} f(x,t)dt$ est de classe $\mcal{C}^{1}$ sur $\K$ et $F'(x)=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.
\end{theo}

\section{Intégrales doubles}

\begin{theo}
\textbf{Domaine quarrable (1)}
\noindent 
\newline
\noindent 
Soit $f$ une fonction continue bornée sur un domaine $\Omega$ quarrable alors $f$ est intégrable sur le domaine $\Omega$.
\end{theo}

\begin{theo}
\textbf{Domaine quarrable (2)}
\noindent 
\newline
\noindent 
Soit $f$ une fonction bornée sur $\Omega$, un domaine quarrable du plan, continue sauf sur un ensemble de points $D$. Si $D$ quarrable d'aire nulle alors $f$ est intégrable sur $\Omega$.
\end{theo}

\begin{theo}
\textbf{Formule de Fubini}
\noindent 
\newline
\noindent 
On considère deux fonctions $\varphi_1$ et $\varphi_2$ à valeurs réelles, définies et continues sur un même intervalle $[a,b]$ telle que 
\[\forall t\in [a,b]\mbox{ on a }\varphi_1(t) \le \varphi_2(t)\]
On considère le domaine
\[\Omega = \Big\{(x,y)\in\R^{2}, a\le x \le b,\,  \varphi_1(x) \le y \le \varphi_{2}(x)\Big\}\] 
Alors le domaine $\Omega$ est quarrable et pour toute fonction $f$ intégrable sur $\Omega$, on vérifie 
\[\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)dx\]
Si de plus, il existe deux fonctions $\Phi_1$ et $\Phi_2$ continues sur un segment $[c,d]$ telle que 
\[\Omega = \Big\{ (x,y)\in\R^2,\, c \le y \le d, \, \Phi_1(y)\le x \le \Phi_2(y) \Big\}\]
Alors 
\[\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \int_{c}^{d}\left(\int_{\Phi_1(y)}^{\Phi_2(y)}f(x,y)dx\right)dy\]
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Changement de variable et détermiants}
\noindent 
\newline
\noindent 
On considère une fonction $F$ telle que 
\[F \,:\, \R^{2}\to \R^{2}\mbox{ et } (x,y) \to \Big(u(x,y), v(x,y)\Big)\]
On supposera que $F\in\mcal{C}^{1}\Big(\R^{2}\Big)$ et on définit le jacobien par 
\[
\frac{1}{J_{F}(x,y)} =\frac{D(u,v)}{D(x,y)}=
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\dron u}{\dron x} &  \frac{\dron u}{\dron y}\vspace{0.4cm}\\
\frac{\dron v}{\dron x} & \frac{\dron v}{\dron y}
\end{array}
\right|
\]
\end{theo}

\begin{theo}
\textbf{Formule de changement de variable}
\noindent 
\newline
\noindent 
Soit $\Omega$ un esnemble fermé, borné, quarrable du plan. Soit $F$ une fonction définie de $\Omega$ dans $\Omega_{1}$ bijective et de classe $\mcal{C}_1$. On suppose que pour tout $(x,y)\in\Omega$,  $J_{F}(x,y)\neq0$. On vérifie alors :
\[\iint_{\Omega}f(F(x,y))\left|J_{F}(x,y)\right|dxdy=\iint_{\Omega_1}f(u,v)dudv\]
\end{theo}

\section{Intégrales triples}

\begin{theo}
\textbf{Formule de Fubini totale}
\noindent 
\newline
\noindent
On suppose qu'il existe deux fonctions $\varphi_1$ et $\varphi_2$ continues définies sur $[a,b]$ telles que 
\[c\le \varphi_{1}(x) \le \varphi_{2}(x)\le d\]
De plus, on suppose qu'il existe deux fonctions $\Phi_1$ et $\Phi_2$ continues sur $[a,b]\times [c,d]$ telles que l'on puisse décrire le domaine $\Omega$ de la façon suivante 
\[\Omega =\Big\{(x,y,z)\in\R^{3}, a\le x \le b,\, 
\varphi_{1}(x)\le y \le \varphi_2(x), \Phi_{1}(x,y) \le z \le \Phi_{2}(x,y)\Big\}\]
Alors $\Omega$ est quarrable et si $f$ est intégrable sur $\Omega$ alors :
\[\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\left(\int_{\Phi_1(x,y)}^{\Phi_1(x,y)}f(x,y,z)dz\right)dy\right)dx\]
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Formule de Fubini partielle}
\noindent 
\newline
\noindent
On suppose qu'il existe une fonction qui à tout $z\in[a,b]$ associe $\Omega_{z}$, un domaine quarrable de $\R^{2}$. De plus on suppose cubable, le domaine $\Omega$ défini de la façon suivante 
\[\Omega = \Big\{(x,y,z)\in\R^{3}, a\le z \le b, \, (x,y)\in\Omega_{z}\Big\}\]
Si $f$ est intégrable sur $\Omega$ alors 
\[\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \int_{a}^{b}\left(\iint_{\Omega_{z}}f(x,y,z)dxdy\right)dz\]
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Formule de changement de variable}
\noindent 
\newline
\noindent 
Soit $\Omega$ un ensemble fermé, borné, cubable. Soit $F$ une fonction définie de $\Omega$ dans $\Omega_{1}$ bijective et de classe $\mcal{C}_1$. On suppose que pour tout $(x,y,z)\in\Omega$,  $J_{F}(x,y,z)\neq0$. On vérifie alors :
\[\iiint_{\Omega}f(F(x,y,z))\left|J_{F}(x,y,z)\right|dxdydz=\iiint_{\Omega_1}f(u,v,w)dudvdw\]
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Coordonnées sphériques}
\noindent 
\newline
\noindent
Le changement de variable en sphérique est donné par : 
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
x & = & \rho\cos\varphi \cos\theta \\
y & = & \rho\cos\varphi \sin\theta \\
z & = & \rho\sin\varphi
\end{array}
\right.
\quad 
\mbox{ avec }
\rho \ge 0,\; \theta \in [0, 2\pi] \mbox{ et } \varphi \in \left[-\frac{\pi}{2},   \frac{\pi}{2}\right]
\]
Le jacobien de ce changement de variable vaut $J = \rho^{2}\cos\varphi$.
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Coordonnées cylindriques}
\noindent 
\newline
\noindent
Le changement de variable en cylindrique est donné par : 
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
x & = & r\cos\theta \\
y & = & r\sin\theta \\
z & = & z
\end{array}
\right.
\quad 
\mbox{ avec }
r \ge 0 \mbox{ et } \theta \in \left[0, 2\pi\right]
\]
Le jacobien de ce changement de variable vaut $J = r$.
\end{theo}

\section{Intégrales curvilignes}

\begin{theo}
\textbf{Formule de Green-Riemann}
\noindent 
\newline
\noindent
Soient $\Omega$ un ouvert borné régulier et $\Gamma$ son bord que l'on suppose sans point double. On note $\Gamma^{+}$, ce bord parcouru dans le sens positif. Alors si $\omega = P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ est une forme différentielle de classe $\mcal{C}^1$ sur $\Omega$ alors 
\[\int_{\Gamma^{+}}\omega = \iint_{\Omega}\left(\frac{\dron Q}{\dron x}(x,y)-\frac{\dron P}{\dron y}(x,y)\right)dxdy\]    
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Paramétrage d'une ellipse.}
\noindent 
\newline
\noindent
Les courbes d'équations 
\[\frac{(x-\alpha)^{2}}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1\] 
sont les ellipses de centre $(\alpha, \beta)$ d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$. On chosit souvent comme paramétrage 
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & \alpha + a\cos(t) \\
y(t) & = & \beta + b\sin(t)
\end{array}
\right. \quad \mbox{ avec } 0\le t \le 2\pi
\]
Le cercle est une ellipse pour $a=b$.
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Paramétrage d'une parabole.}
\noindent 
\newline
\noindent
Les courbes d'équations 
\[k(x-a)^2+b=y\] 
sont les paraboles de sommet $(a,b)$ et dont l'axe de symétrie est parallèle à $(Oy)$. On chosit souvent comme paramétrage 
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & t \\
y(t) & = & k(t-a)^2+b
\end{array}
\right.
\quad \mbox{ ou } \quad
\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & t+a \\
y(t) & = & kt^2+b
\end{array}
\right.
\]
Les courbes d'équations 
\[k(y-a)^2+b=x\] 
sont les paraboles de sommet $(b,a)$ et dont l'axe de symétrie est parallèle à $(Ox)$. On chosit souvent comme paramétrage 
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & k(t-a)^2+b \\
y(t) & = & t
\end{array}
\right.
\quad \mbox{ ou } \quad
\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & kt^2+b \\
y(t) & = & t+a
\end{array}
\right.
\]
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Paramétrage d'une hyperbole.}
\noindent 
\newline
\noindent
Les courbes d'équations 
\[\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\] 
sont les hyperboles de centre $(\alpha, \beta)$ d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$ et d'asymptotes les droites d'équations \[\frac{x-\alpha}{a}-\frac{y-\beta}{b}=0\quad \mbox{ et } \quad \frac{x-\alpha}{a}-\frac{y-\beta}{b}=0\]
On chosit souvent comme paramétrage 
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & \frac{a}{\cos(t)}+\alpha \\
y(t) & = & b\tan(t)+\beta
\end{array}
\right.
\quad \mbox{ ou } \quad
\left\{
\begin{array}{lll}
x(t) & = & t+a \\
y(t) & = & kt^2+b
\end{array}
\right.
\]
\end{theo}


\begin{theo}
\textbf{Une forme différentielle est exacte}
\noindent 
\newline
\noindent
Si $\omega$ est de classe $\mcal{C}^1$ et définie sur un ouvert étoilé $\U$, alors $\omega$ est exacte, si et seulement si, 
\[\frac{\dron P}{\dron y}(x,y)=\frac{\dron Q}{\dron x}(x,y)\]
sur $\U$. 
\end{theo}

\begin{theo}
\textbf{Calcul de la longueur d'un arc ...}
\noindent 
\newline
\noindent
Soit $\Gamma$ un arc
\end{theo}

\auteur

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\newpage 
\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}