\documentclass[12pt]{article}
% Packages 
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=0.2cm,
						bottom=1cm]{geometry}
\usepackage{cancel}
% Fin packages 

% Numérotation
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
% Fin numérotation

% Environnement
\newtheorem{exercice}{Exercice}
	\newenvironment{exo}
		{\begin{exercice}\normalfont} {\end{exercice}}
		
\newtheorem{corrige}{Corrigé}
	\newenvironment{corr}
		{\begin{corrige}\normalfont} {\end{corrige}}

\newtheorem{methode}{Méthode}
	\newenvironment{modo}
		{\begin{methode}\normalfont}	{\end{methode}}

\newtheorem{definition}{Définition}
	\newenvironment{defi}
		{\begin{definition}\normalfont}	{\end{definition}}
		
\newtheorem{theoreme}{Théorème}
	\newenvironment{theo}
		{\begin{theoreme}\normalfont}	{\end{theoreme}}
% Fin environnement

% Ensembles
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}  % L'ensemble des réels
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}  % L'ensemble des Entiers
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}  % L'ensemble des rationnels
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}  % L'ensemble des relatifs
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}  %	L'ensemble des complexes
\newcommand{\F}{{\mathbb F}}  % L'ensemble F
\newcommand{\I}{{\mathbb I}}  % L'ensemble I
\newcommand{\K}{{\mathbb K}}  % L'ensemble K
\newcommand{\E}{{\mathbb E}}  % L'ensemble E
% Fin ensembles

% Symboles 
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\dron}{\partial}						% Dérivées partielles
	\newcommand{\dive}{{\mbox{div}}}  			% Divergence
	\newcommand{\rot}{{\mbox{\vect{rot}}}}  % Rotationnel
	\newcommand{\im}[1]{\mbox{Im}(#1)}
	\newcommand{\mcal}[1]{\mathcal{#1}}
% Fin symboles

% Autres
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout
% Fin Autres

% Mes fonctions
	\newcommand{\titre}[1]{
		\begin{center}
			\Huge \textbf{#1}
		\end{center}
	}
% Fin fonctions

% Entête
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Un exercice type}}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{12.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}							
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
% Fin entête

% Auteur 
	\newcommand{\auteur}{
		\begin{flushright}
		\href{http://prepamp.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
		\end{flushright}
	}	
% Auteur

\begin{document}

\titre{Un exercice type}
\begin{exo}
Soient $I$ la matrice indentité de $\R^3$ et 
\[A = 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\]
\begin{itemize}
	\item[(a)] Montrer que $A^2-A-2I_{3}=0$. En déduire que $A$ est inversible et claculer son inverse.
	\item[(b)] Soit $n>3$. Par la division euclidienne sur les polynômes,\\ il existe $a_n, b_n \in \R$ et un polynôme $P_n$ tel que $X^{n} = P_n(X)(X^2-X-2)+a_n X + b_n$ ($n\in\N$). \\Trouver $a_n$ et $b_n$. En déduire $A^n$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{corr}
\begin{itemize}
	\item[(a)] Calculons $A^{2}$ :  
	\[A^2 = 
		\begin{pmatrix}
		0 & 1 & 1 \\
		1 & 0 & 1 \\
		1 & 1 & 0 \\
		\end{pmatrix}
		\times 
		\begin{pmatrix}
		0 & 1 & 1 \\
		1 & 0 & 1 \\
		1 & 1 & 0 \\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
		2 & 1 & 1 \\
		1 & 2 & 1 \\
		1 & 1 & 2 \\
		\end{pmatrix}
	\]
	Or 
	\[A + 2I= 
		\begin{pmatrix}
		0 & 1 & 1 \\
		1 & 0 & 1 \\
		1 & 1 & 0 \\
		\end{pmatrix}
		- 
		\begin{pmatrix}
		2 & 0 & 0 \\
		0 & 2 & 0 \\
		0 & 0 & 2 \\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
		2 & 1 & 1 \\
		1 & 2 & 1 \\
		1 & 1 & 2 \\
		\end{pmatrix}
	\]
		Par suite, $A^2 - A -2I = 0$. On réécrit cette équation : 
		\[A^2 - A -2I = 0 \ssiG A^2-A = 2I \ssiG A\left(\frac{1}{2}\left(A-I\right)\right) = I \Longleftrightarrow A^{-1} = \frac{1}{2}(A-I)\]
		Finalement,
		\[
		A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
		-1 & 1 & 1 \\
		1 & -1 & 1 \\
		1 & 1 & -1 \\
		\end{pmatrix}\
		\]
		\item[(b)] L'équation $x^2-x-2=0$ a deux racines distinctes : $2$ et $-1$. On a alors 
		\[
		\left\{
			\begin{array}{lll}
			(-1)^n & = &  -a_n + b_n \\
			2^n    & = & 2a_n + b_n
			\end{array}
		\right. \Longleftrightarrow
		\left\{
			\begin{array}{lll}
			(-1)^n & = &  -a_n + b_n \\
			2^n    & = & 2a_n + b_n
			\end{array}
		\right. \Longleftrightarrow
		a_n =\frac{2^n-(-1)^n}{3} \mbox{ et } b_n = \frac{2^n+2(-1)^n}{3}
		\]
		Maintenant, on peut donner l'expression de $A^n$, en effet, 
		\[A^n = \left(A^2 - A - 2I\right)P_n(A) + a_n A + b_n I =
		\begin{pmatrix}
		b_n & a_n & a_n \\
		a_n & b_n & a_n \\
		a_n & a_n & b_n \\
		\end{pmatrix}\
		\]
\end{itemize}
\end{corr}




\auteur

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}

