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% Fin packages 

% Numérotation
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% Fin numérotation

% Environnement
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		{\begin{exercice}\normalfont} {\end{exercice}}
		
\newtheorem{corrige}{Corrigé}
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\newtheorem{definition}{Définition}
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\newtheorem{theoreme}{Théorème}
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\newtheorem{notation}{Notation}
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\newtheorem{information}{Information}
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		{\begin{information}\normalfont}	{\end{information}}
% Fin environnement

% Ensembles
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}  % L'ensemble des réels
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}  % L'ensemble des Entiers
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\newcommand{\F}{{\mathbb F}}  % L'ensemble F
\newcommand{\I}{{\mathbb I}}  % L'ensemble I
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% Fin ensembles

% Symboles 
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\dron}{\partial}						% Dérivées partielles
	\newcommand{\dive}{{\mbox{div}}}  			% Divergence
	\newcommand{\rot}{{\mbox{\vect{rot}}}}  % Rotationnel
	\newcommand{\im}[1]{\mbox{Im}(#1)}			% Image
	\newcommand{\mcal}[1]{\mathcal{#1}}			% Ecriture 
	\newcommand{\tr}{\mbox{\textbf{tr}}}		% Trace
	\newcommand{\matA}{\mbox{\textbf{A}}}		% Matrice A
	\newcommand{\matB}{\mbox{\textbf{B}}}		% Matrice B
	\newcommand{\matP}{\mbox{\textbf{P}}}		% Matrice P
% Fin symboles

% Autres
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout
% Fin Autres

% Mes fonctions
	\newcommand{\titre}[1]{
		\begin{center}
			\Huge \textbf{#1}
		\end{center}
	}
% Fin fonctions

% Entête
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% Fin entête

% Auteur 
	\newcommand{\auteur}{
		\begin{flushright}
		\href{http://prepamp.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
		\end{flushright}
	}	
% Auteur

\begin{document}

\titre{Algèbre du Semestre 4}

\section{Eléments d'algèbre}
%%% 1
\begin{theo}
Soit $(\E, + , \times)$ un $\R-$espace vectoriel. Alors $\F\subset\E$ est un sous-espace vectoriel de $\E$, si et seulement si, $\forall x,y\in\F, \forall \lambda \in\R$ on a $x+\lambda y \in\F$.
\end{theo}

%%% 2
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel et  $\F_1, \F_2 \subset\E$ deux sous-espaces vectoriels de $\E$. On dit que la somme $\F_1 + \F_2$ de $\F_1$ et $\F_2$ par 
\[\F_1 + \F_2 = \Big\{x+y \mbox{ tel que } x\in\F_1, y\in\F_2\Big\}\]
c'est un sous-espace vectoriel de $\E$. On dit que la \textbf{somme} $\F_1 + \F_2$ est \textbf{directe}, et on écrit $\F_1 \oplus \F_2$, si les vecteurs de $\F_1 + \F_2$ s'écrivent de façon unique comme somme d'un vecteur de $\F_1$ et d'un vecteur de $\F_2$, à savoir 
\[\forall z \in\ \F_1 + \F_2, \exists ! x \in\F_1, \exists ! y \in \F_2 \mbox{ tel que } z = x + y\]
\end{theo}

%%% 3
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel et $\F_1, \F_2 \subset \E$ deux sous-espaces vectoriels de $\E$. La \textbf{somme} $\F_1 + \F_2$ est \textbf{directe}, si et seulement si, $\F_1 \cap \F_2 = \{0\}$.
\end{theo}

%%% 4
\begin{theo}
La somme de $\F_1 + \F_2 + ... + \F_k$ est directe $\Longleftrightarrow \forall i = \Big\{1, ..., k\Big\} \mbox{ on a } \F_i \cap \left(\sum_{j=1}^{i-1}\F_j\right) = \left\{0\right\}$.
\end{theo}

%%% 5
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel et $A \subset \E$ un ensemble de $\E$ alors $\mbox{Vect}\Big(A\Big)$ est précisément l'ensemble des vecteurs de $\E$ qui s'écrivent comme combinaison linéaire finie de vecteurs de $A$. En d'autres termes : 
\[\mbox{Vect}\Big(A\Big) = \Big\{\lambda_1 e_1 + ... + \lambda_k e_k \mbox{  avec } k \in\N, \lambda_1 , ... , \lambda_k \in\R \mbox{ et } e_1, ... , e_k \in A \Big\}\]
\end{theo}

%%% 6
\begin{prop} Quelques propriétés de $\mbox{Vect}\Big(A\Big)$ : 
\begin{itemize}
	\item Si $\F \subset \E$ est un sous-espace vectoriel de $\E$ alors $\mbox{Vect}\Big(\F\Big) = \F$.
	\item Si $A,B \in\E$ alors $\mbox{Vect}\Big(A\cup B\Big) = \mbox{Vect}\Big(A\Big) + \mbox{Vect}\Big(B\Big)$.
\end{itemize}
\end{prop}

%%% 7
\begin{defi} 
Soient $\E$ et $\F$ deux $\R-$espace vectoriels munis de lois internes et externes notées comme de cotume $+$ et $\times$. Soit $\varphi : E \longrightarrow \F$ une application. Alors $\varphi$ est dite \textbf{linéaire} si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : 
\begin{enumerate}
	\item $\forall x, y\in\E$ on a $\varphi(x+y) = \varphi(x)+\varphi(y)$
	\item $\forall \lambda \in\R, \forall x\in\E$ on a $\varphi(\lambda x)=\lambda \varphi(x)$
\end{enumerate}
On note $\mcal{L}\Big(\E, \F\Big)$ l'\textbf{ensemble des applications linéaires} de $\E$ dans $\F$. Noter que $\forall \varphi \in \mcal{L}\Big(\E, \F\Big)$ on a $\varphi(0)=0$.
\end{defi}


%%% 8
\begin{theo}
Si $\varphi \in\mcal{L}(E,\F)$ on a alors que  $\varphi\left(\sum_{j=1}^{k}\lambda_j x_j\right)= \sum_{j=1}^{k}\lambda_j \varphi(x_j)$.
\end{theo}

%%% 9
\begin{defi}
Soient $\E$ et $\F$ deux $\R-$espaces vectoriels et $\varphi\in\mcal{L}\Big(\E, \F\Big)$ une application linéaire de $\E$ dans $\F$. On définit le noyau $\ker\Big(\varphi\Big) \subset \E$ de $\varphi$ et l'image $\mbox{Im}\Big(\varphi\Big) \in\F$ de $\varphi$ par 
\[
\ker\Big(\varphi\Big) = \Big\{x\in\E \mbox{ tel que } \varphi(x)=0\Big\} 
\qquad \mbox{et} \qquad 
\mbox{Im}\Big(\varphi\Big)=\Big\{\varphi(x), x \in\E \Big\}
\]
\end{defi}

%%% 10
\begin{defi}
$\varphi$ est un \textbf{isomorphisme} de $\E$ dans $\F$, si et seulement si, $\varphi \in\mcal{L}\Big(\E,\R\Big)$ et bijective.
\end{defi}

%%% 11
\begin{theo}
Soient $\E$ et $\F$ deux sous-espaces vectoriels et $\varphi\in\mcal{L}\Big(\E,\F\Big)$ une application linéaire de $\E$ dans $\F$. Alors 
\begin{enumerate}
	\item[(1)] $\varphi$ est \textbf{injective} $\Longleftrightarrow \ker\Big(\varphi\Big)= \{0\}$.
	\item[(2)] $\varphi$ est \textbf{surjective} $\Longleftrightarrow \mbox{Im}\Big(\varphi\Big)=\F$.
\end{enumerate}
$\varphi$ est un isomorphisme de $\E$ dans $\F$, si et seulement si, $(1)$ et $(2)$ sont vérifiées. Dans ce cas l'application réciproque $\varphi^{-1}$ est aussi linéaire $\varphi^{-1}\in\mcal{L}\Big(\F,\E\Big)$. 
\end{theo}

%%% 12
\begin{theo}
Une famille $\Big(e_1, ..., e_n\Big)$ est une base, si et seulement si, elle est à la fois libre et génératrice.
\end{theo}

%%% 13
\begin{theo}
\textbf{Théorème fondamental de la théorie de la dimension}. \\
Si un $\R-$espace vectoriel $\E$ possède une famille génératrice à $k$ éléments et si une famille libre de $\E$ possède $p$ éléments, alors $p\le k$. En d'autres termes, une famille libre de $\E$ a moins (ou autant) d'éléments qu'une famille génératrice de $\E$.
\\
Les familles libres ont moins d'éléments que les familles génératrices. 
\end{theo}

%%% 14
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel. Si $\mcal{B} = \Big(e_1, ..., e_p\Big)$ et $\mcal{B}^, = \Big(e_1^{'}, ..., e_q^{'}\Big)$ sont deux bases de $\E$ alors nécessairement $p=q$. \\Deux bases d'un même espace vectoriel ont forcément le même nombre d'éléments.
\end{theo}

%%% 15
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel. si $\E$ possède une base $\mcal{B} = \Big(e_1, ..., e_n\Big)$ de $n$ vecteurs. On dit que $n$ est la dimension de $\E$ et on écrit $\mbox{dim}\Big(\E\Big) = n$.\\
$\forall x\in\E, \exists ! x_1, ..., x_n \in\R$ tel que $x = x_1e_1 + ... + x_n e_n$. On dit que les $x_i$ sont \textbf{les coordonnées} de $x$ dans $\mcal{B}$.
\end{theo}

%%% 16
\begin{theo}
Soit $\E$ un espace-vectoriel de dimension $n$. Alors toute famille libre de $\E$ constituée de $n$ vecteurs est une base de $\E$, et toute famille génératrice  de $\E$ constituée de $n$ vecteurs est une base de $\E$.
\\
Donc, en dimension $n$, si $\mcal{F}$ a $n$ éléments alors 
\[\mcal{F} \mbox{ libre } \Longleftrightarrow \mcal{F} \mbox{ génératrice } \Longleftrightarrow \mcal{F}\mbox{ base de } \E\]
\end{theo}

%%% 17
\begin{theo}
\textbf{Théorème de la base incomplète}. \\
Soit $\E$ un espace-vectoriel de dimension $n$, et soit $\Big(e_1, ..., e_p\Big)$ une famille libre de $\E$ avec $p\le n$ alors il existe $e_{p+1}, ..., e_{n} \in\E$ tels que $\Big(e_1, ..., e_p, e_{p+1}, ..., e_n\big)$ est une base de $\E$. \\ Une famille libre se complète en une base.
\end{theo}

%%% 18
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace-vectoriel et soient $\F_1, \F_2$ deux sous-espaces vectoriels de $\E$ de dimension finie. Alors 
\[\mbox{dim}\Big(\F_1 + \F_2\Big) = \mbox{dim}\Big(F_1\Big)+\mbox{dim}\Big(\F_2\Big)-\mbox{dim}\Big(F_1\cap\F_2\Big)\]
En particuler la somme $\F_1 + \F_2$ est directe, si et seulement si, $\mbox{dim}\Big(\F_1 + \F_2\Big) = \mbox{dim}\Big(F_1\Big)+\mbox{dim}\Big(\F_2\Big)$.
\end{theo}

%%% 19
\begin{theo}
\textbf{Théorème du rang}. \\
Soit $\E, \F$ deux $\R-$ espaces vectoriels, $\E$ élément de dimension finie et $\varphi\in\mcal{L}\Big(\E,\F\Big)$ une application linéaire de $\E$ dans $\F$. Alors 
\[\mbox{dim}\Big(\ker(\varphi)\Big) + \mbox{dim}\Big(\mbox{Im}(\varphi)\Big) = \mbox{dim}\Big(\E\Big)\]
Où $\mbox{Rg}\Big(\varphi\Big)= \mbox{dim}\Big(\mbox{Im}(\varphi)\Big)$.
\end{theo}

\section{Matrices et applications linéaires}

%%% 20
\begin{nota}
On note $\mcal{M}_{p,q}(\R)$ l'ensemble des matrices réelles à $p$ lignes et $q$ colonnes. 
\end{nota}

%%% 21
\begin{nota}
On note $\matA = \Big(a_{ij}\Big)_{ij}$ une matrice de $\mcal{M}_{p,q}(\R)$ avec $0\le i \le p$ et $0\le j\le q $.
\end{nota}

%%% 22
\begin{defi}
Soient $p,q\in\N^{*}$ et $\matA = \Big(a_{ij}\Big)_{ij}$ une matrice de $\mcal{M}_{p,q}(\R)$. La transposée de $\matA$ notée $^t\matA$ est la matrice de $\mcal{M}_{p,q}(\R)$ donnée par $^t\matA=\Big(a_{ji}\Big)_{ij}$.
\end{defi}

%%% 23
\begin{defi}
\textbf{Produit des matrices}. \\
Soient $p,q\in\N^{*}$, $\matA = \Big(a_{ij}\Big)_{ij}$ une matrice de $\mcal{M}_{p,q}(\R)$ et $\matB = \Big(b_{ij}\Big)_{ij}$ une matrice de $\mcal{M}_{q,r}(\R)$. On définit alors $\mbox{\textbf{C}} = \matA \times \matB$ comme la matrice $\mbox{\textbf{C}} = \Big(c_{ij}\Big)_{ij}$ de $\mcal{M}_{p,r}(\R)$ définie par 
\[c_{ij} = \sum_{k=1}^{q}a_{ik} b_{kj}\]
avec $\forall i = \Big\{1, ..., p\Big\}$ et $\forall j=\Big\{1, ...,r\Big\}$.
\end{defi}

%%% 24
\begin{prop}
Voici quelques propriétés de la transposition : 
\begin{itemize}
	\item $\forall \mbox{\textbf{I}}_n\in\mcal{M}_{n,n}(\R)$, on a $^t \mbox{\textbf{I}}_n = \mbox{\textbf{I}}_n$.
	\item $\forall \matA\in\mcal{M}_{p,q}(\R)$, on a $^t\Big(^t\matA\Big) = \matA$. 
	\item $\forall \matA\in\mcal{M}_{p,q}(\R), \,\forall \matB \in\mcal{M}_{q,r}(\R)$ on a $^t\Big(\matA\times \matB\Big) = ^t\matB\times ^t \matA$.
	\item $\forall \matA\in\mcal{M}_{p,q}(\R), \,\forall \matB \in\mcal{M}_{r,s}(\R)$ on a $^t\Big(\matA+ \matB\Big) = ^t\matA + ^t\matB$.
	\item $\forall \lambda\in\R, \matA\in\mcal{M}_{p,q}(\R)$, on a $^t\Big(\lambda \times \matA\Big) = \lambda \times ^t\matA$.
\end{itemize}
\end{prop}

%%% 25
\begin{defi}
Soient $\E, \F$ deux espaces vectoriels de dimension finies et $\varphi \in \mcal{L} \Big(\E, \F \Big)$ une application linéaire de $\E$ dans $\F$. Soient $\mcal{B}$ une base de $\E$ et $\mcal{B}^{'}$ une base de $\F$. La matrice de représentation de $\varphi$ dans $\mcal{B}$ et $\mcal{B}^{'}$, notée $\mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}^{'}}(\varphi)$.
\end{defi}

%%% 26
\begin{theo}
\textbf{Théorème de composition}.\\
Soient $\E_1, \E_2,\E_3$ trois espaces vectoriels de dimension finie. $\mcal{B}_1$ une base de $\E_1$, $\mcal{B}_2$ une base de $\E_2$ et $\mcal{B}_3$ une base de $\E_3$. $f\in\mcal{L}\Big(\E_1, \E_2\Big)$ et $g\in\mcal{L}\Big(\E_2, \E_3\Big)$ alors 
\[\mcal{M}_{\mcal{B}_1, \mcal{B}_3}(g\circ f) = \mcal{M}_{\mcal{B}_2, \mcal{B}_3}(g) \times \mcal{M}_{\mcal{B}_1, \mcal{B}_2}(f)\]
\end{theo}

%%% 27
\begin{defi}
Soit $\mbox{\textbf{A}}$ une matrice réelle carrée d'ordre $n$. On dit que $\mbox{\textbf{A}}$ est inversible s'il existe $\mbox{\textbf{B}}$ une matrice réelle carrée d'ordre $n$ telle que $\mbox{\textbf{A}} \times \mbox{\textbf{B}} = \mbox{\textbf{B}} \times \mbox{\textbf{A}} = \mbox{\textbf{I}}_n$. On dit que $\mbox{\textbf{B}}$ est l'inverse \mbox{\textbf{A}} et on note $\mbox{\textbf{B}} = \mbox{\textbf{A}}^{-1}$.
\end{defi}

%%% 28
\begin{nota}
On note la matrice identité d'ordre $n$ par $\mbox{\textbf{I}}_n = \Big(\delta_{ij}\Big)_{ij}$.
\end{nota}

%%% 29
\begin{theo}
Soient $\E, \F$ deux espaces vectoriels de même dimension finie. Soient $\mcal{B}, \mcal{B}^{'}$ deux bases respectivement de $\E$ et $\F$. \\
Soit $\varphi \in\mcal{L}\Big(\E, \F\Big)$. Alors $\mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}^{'}}(\varphi)$ est inversible, si et seulement si, $\varphi$ est un isomorphisme de $\E$ sur $\F$.
\end{theo}

%%% 30
\begin{theo}
Soient $\E, \F$ deux espaces vectoriels de dimension finie, $\varphi \in\mcal{L}\Big(\E,\F\Big)$ et $\mcal{B}_{1}, \mcal{B}_{1}^{'}$ deux bases de $E$ et $\mcal{B}_{2}, \mcal{B}_{2}^{'}$ deux bases de $\F$; Alors : 
\[
\mcal{M}_{\mcal{B}_{1}^{'},\mcal{B}_{2}^{'}}(\varphi) = \mcal{M}_{\mcal{B}_{2},\mcal{B}_{2}^{'}}^{-1}(\varphi) \times
\mcal{M}_{\mcal{B}_{1},\mcal{B}_{2}}(\varphi) \times 
\mcal{M}_{\mcal{B}_{1}^{},\mcal{B}_{1}^{'}}(\varphi)
\]
Où $\mcal{M}_{\mcal{B}_{1}^{},\mcal{B}_{1}^{'}}(\varphi)$ et $\mcal{M}_{\mcal{B}_{2}^{},\mcal{B}_{2}^{'}}(\varphi)$ sont les matrices de passage de $\mcal{B}_{1}$ vers $\mcal{B}_{1}^{'}$ et de $\mcal{B}_{2}$ vers $\mcal{B}_{2}^{'}$.
\end{theo}

%%% 31
\begin{theo}
Soient $\E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\mcal{B}, \mcal{B}^{'}$ deux bases de $\E$ et soit $\varphi \in\mbox{End}\Big(\E\Big)$ un endomorphisme de $\E$ alors 
\[\mcal{M}_{\mcal{B}^{'}, \mcal{B}^{'}}(\varphi) = \mcal{M}_{\mcal{B}, \mcal{B}^{'}}^{-1}(\varphi) \times \mcal{M}_{\mcal{B}, \mcal{B}}(\varphi) \times \mcal{M}_{\mcal{B}, \mcal{B}^{'}}(\varphi)\]
\end{theo}

%%% 32
\begin{prop}
Soit $\E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\mcal{B}, \mcal{B}^{'}$ deux bases de $\E$ alors 
$\mcal{M}_{\mcal{B}, \mcal{B}^{'}}^{-1} =\mcal{M}_{\mcal{B}^{'},\mcal{B}}$.
\end{prop}

\section{Diagonalisation des endomorphismes et des matrices}

%%% 33
\begin{defi}
La trace d'une matrice carrée $\matA = \Big(a_{ij}\Big)_{ij} \in\mcal{M}_{n}\left(\R\right)$ est définie par $\mbox{\textbf{tr}}(\matA) = \sum_{i=1}^{n}a_{ii}$.
\end{defi}

%%% 33
\begin{prop}
Le determinant et la trace d'une matrice carrée ne dépendent pas de la base.
\end{prop}

%%% 34
\begin{prop}
Voici quelques propriétés de la trace.
\begin{enumerate}
	\item $\forall \matA, \matB\in\mcal{M}_{n}(\R),\,  \mbox{\textbf{tr}}(\matA + \matB)= \mbox{\textbf{tr}}(\matA)+\mbox{\textbf{tr}}(\matB)$
	\item $\forall \lambda \in \R, \forall \matA \in\mcal{M}_{n}(\R), \,\mbox{\textbf{tr}}(\lambda \times \matA)= \lambda \times \mbox{\textbf{tr}}(\matA)$
	\item $ \forall \matA \in \mcal{M}_{n}(\R), \, \tr(^t \matA) = \tr(\matA)$
	\item $\forall \matA \in\mcal{M}_{p,q}(\R), \forall \matB \in\mcal{M}_{q,p}(\R), \, \tr(\matA \matB) =\tr(\matB\matA)$
	\item $\forall \mbox{\textbf{P}}\in\mbox{\textbf{GL}}_{n}, \forall \matA \in\mcal{M}_{n}(\R),  \, \tr(\mbox{\textbf{P}}^{-1}\matA \mbox{\textbf{P}}) = \tr(\matA)$
\end{enumerate}
\end{prop}

%%% 35
\begin{prop}
Voici quelques propriétés de déterminant
\begin{enumerate}
	\item $\forall \textbf{A}, \textbf{B}\in\mcal{M}_{n}(\R),\, \mbox{det}(\matA \matB) = \mbox{det}(\matA) \times \mbox{det}(\matB)$
	\item $\forall \textbf{A} \in\mbox{\textbf{GL}}_{n}(\R),\, \mbox{det}(\matA^{-1}) = \Big(\mbox{det}(\matA)\Big)^{-1}$
\end{enumerate}
\end{prop}

%%% 36
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie, et $\varphi \in\mbox{End}(\E)$ un endomorphisme de $\E$. On dit qu'un réel $\lambda\in\R$ est valeur propre de $\varphi$ s'il existe $x\in\E,\x\neq 0$ tel que $\varphi(x)=\lambda x$. Si $\lambda$ est une valeur propre de $\varphi$, les $x\in\E$ qui vérifient $\varphi(x)=\lambdax$ sont appelés vecteurs propres de $\varphi$ associés à la valeur propre $\lambda$. L'espace propre $E_{\lambda}$ associé à la valeur propre $\lambda$ est le sous espace vectoriel de $\E$ constitué des vecteurs propres de $\varphi$ associés à $\lambda$ donc 
\[E_{\lambda} = \Big\{x\in\E \mbox{ tel que } \varphi(x) = \lambda x\Big\}\]
\end{defi}

%%% 37
\begin{nota}
On note $\mbox{\textbf{Sp}}(\varphi)$ le spectre de $\varphi$ contitué, par définition, des valeurs propres de $\varphi$.
\end{nota}

%%% 38
\begin{prop}
Dire que $\lambda$ est une valeur propre de $\varphi$ équivant à dire $\Big(\varphi - \lambda \cdot \mbox{\textbf{Id}}_{E}\Big)$ n'est pas inversible alors 
\[E_{\lambda} = \ker\Big(\varphi-\lambda\mbox{\textbf{Id}}_{E}\Big)\]
\end{prop}

%%% 39
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie et soit $\varphi \in\mbox{End}\Big(E\Big)$. On appelle polynôme caractéristique de $\varphi$, le polynôme réel $\chi_{\varphi}$ définit par 
\[\chi_{\varphi}(X) = \mbox{det}\Big(\mcal{M}_{\mcal{B}, \mcal{B}}(\varphi)-X\cdot \mbox{\textbf{Id}}_{n}\Big)\]
où $\mcal{B}$ est une base de $\E$ de dimension $n$ et $\mbox{\textbf{Id}}_n$ la matrice identité d'ordre $n$. La définition ne dépend pas de la base.
\end{defi}

%%% 40
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie, $\varphi \in\mbox{End}\Big(E\Big)$ un endomorphisme de $\E$, et $\chi_{\varphi}$ le polynôme caractéristique de $\varphi$. Alors $\lambda$ est valeur propre de $\varphi$, si et seulement si, $\chi_{\varphi}(\lambda)=0$.
\end{theo}

%%% 41
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie, $\varphi \in\mbox{End}\Big(E\Big)$ un endomorphisme de $\E$. On dit que $\varphi$ est diagonalisable, s'il existe $\mcal{B}$ une base de $\E$ telle que $\mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}}(\varphi)$ est diagonale.
\end{defi}

%%% 42
\begin{info}
Puisqu'un polynôme a toutes ses racines dans  $\C$. On dit que $\C$ est algèbriquement clos. 
\end{info}

%%% 43
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie et $\varphi \in\mbox{End}\Big(\varphi\Big)$ un endomorphisme de $\varphi$. Soient $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k \in\R$ les valeurs propres distinctes de $\varphi$, et soient $E_{\lambda_1},E_{\lambda_2}, ..., E_{\lambda_k}$ les sous espaces propres correspondant. La somme 
\[E_{\lambda_1}+E_{\lambda_2}+ ... +E_{\lambda_k} = E_{\lambda_1}\oplus E_{\lambda_2}\oplus ... \oplus E_{\lambda_k}\] 
est toujours directe et $\varphi$ est diagonalisable, si et seulement si, $\E = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_k} \oplus ... \oplus E_{\lambda_k} $.
\end{theo}

%%% 44
\begin{theo}
Si $\varphi$ est diagonalisable alors $\E$ a une base de vecteurs propres.
\end{theo}

%%% 45
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie $n$. $\varphi\in\mbox{End}\Big(\E\Big)$ un endomorphisme de $\E$, et $E_{\lambda_1},..., E_{\lambda_k}$ les espaces propres  correspondant. Alors $\varphi$ est diagonalisable, si et seulement si, $n = \sum_{j=1}^{k}\mbox{dim}E_{\lambda_k}$. En particulier, $\varphi$ est automatiquement diagonalisable si $k=n$, à savoir, si $\varphi$ a $n$ valeurs propres distinctes.
\end{theo}

%%% 46
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie, $\varphi\in\mbox{End}\Big(\E\Big)$ et $\chi_{\varphi}$ le polynôme caractéristique de $\varphi$. Soit $\lambda$ une racine de $\chi_{\varphi}$ de multiplicité $k$ à savoir $\chi_{\varphi}(X) = \Big(X-\lambda\Big)^kQ(X)$ où $Q$ est le polynôme réel de degré $n-k$ tel que $Q(\lambda) \neq 0$. Si $E_{\lambda}$ est l'espace propre associé à $\lambda$ alors $\mbox{dim} E_{\lambda}\le k$.\\
En particulier, si $k=1$, alors $\mbox{dim}E_{\lambda}=1$.
\end{theo}

%%% 47
\begin{theo}
\textbf{Cayly-Hamilton} \\
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie, $\varphi\in\mbox{End}\Big(\E\Big)$ et $\chi_{\varphi}$ le polynôme caractéristique de $\varphi$ alors $\chi_{\varphi}\left(\mcal{M}_{\mcal{B}, \mcal{B}}(\varphi)\right)=0$ pour toute base $\mcal{B}$ de $\E$, où $\mcal{M}_{\mcal{B}, \mcal{B}}(\varphi)$ est la matrice de représentation de $\varphi$ dans $\mcal{B}$ et $0$ est la matrice carrée nulle d'ordre $\mbox{dim}(\E)$.
\end{theo}

%%% 48
\begin{theo}
Soit $\matA \in\mcal{M}_{n}(\R)$ une matrice réelle carrée. On dit que $\matA$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $\matP \in\mcal{M}_{n}(\R)$ telle que $\matP^{-1}\matA\matP$ est une matrice diagonale.
\end{theo}

\section{Espaces vectoriels munis d'un produit scalaire}

%%% 49
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel. On appelle \textbf{norme} sur $\E$ toute application $\left\|\bullet\right\| : \E \longrightarrow \R^{+}$ qui vérifie les trois propriétés :
\begin{itemize}
	\item[(a)] $\forall x\in\E, \, \left\|x\right\|=0 \Longleftrightarrow x= 0$, 
	\item[(b)] $\forall x\in\E, \forall \lambda \in\R, \left\|\lambda x\right\| = |\lambda|\left\|x\right\|$,
	\item[(c)] $\forall x,y\in\E,\,\left\|x+y\right\| \le \left\|x\right\| + \left\|y\right\|$
\end{itemize}
\end{defi}

%%% 50
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel. On appelle \textbf{produit scalaire} sur $\E$ toute forme bilinéaire symétrique $\mbox{B}$ sur $\E$ qui est définie positive, à savoir, qui est telle que 
\begin{itemize}
	\item[(a)] (positive) $ \forall x\in \E, \mbox{B}(x,x)\ge0$,
	\item[(b)] (définie) $\forall x\in \E, \mbox{B}(x,x)=0\Longleftrightarrow x=0$
	\item [(c)] (symétrie) $\forall x,y\in\E,\, \mbox{B}(x,y)= \mbox{B}(y,x)$.
\end{itemize}
\end{defi}

%%% 51
\begin{theo}
\textbf{Inégalité de Schwarz}.\\
Soit $\left\langle \bullet, \bullet \right\rangle$ un produit scalaire associé définie à la norme définie par $\left\|x\right\|=\sqrt{\left\langle x, x \right\rangle}$ pour tout $x\in\E$, on a alors 
\[\left|\left\langle x,y\right\rangle\right| \le \left\|x\right\| \times \left\|y\right\|\]
Pour tout $x,y\in\E$
\end{theo}

%%% 52
\begin{theo}
A tout produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet \right\rangle$ est associé une norme $\left\|\bullet\right\|$ définie par $\left\|x\right\|= \sqrt{\left\langle \bullet, \bullet \right\rangle}$ pour tout $x$ de $\E$.
\end{theo}

%%% 53
\begin{theo}
\textbf{Identités remarquables}\\
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel et $\left\langle \bullet, \bullet \right\rangle$ un produit scalaire sur $\E$. Alors 
\begin{itemize}
	\item[(a)] $\forall x,y\in\E,\,\left\|x+y\right\|^{2} = \left\|x\right\|^2+\left\|y\right\|^2+2\left\langle x,y\right\rangle$,
	\item[(b)] $\forall x,y\in\E,\, \left\|x+y\right\|^2+\left\|x-y\right\|^2 = 2 \Big(\left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2\Big)$,
	\item[(c)] $\forall x,y\in\E,\, \left\|x+y\right\|^2-\left\|x-y\right\|^2=4\left\langle x,y\right\rangle$.
\end{itemize}
\end{theo}

%%% 54
\begin{theo}
\textbf{Théorème de Pythagore}\\
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel et $\left\langle \bullet, \bullet \right\rangle$ un produit scalaire sur $\E$. Soit $\left\|\bullet\right\|$ la norme associée à $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. Deux vecteurs $x$ et $y$ de $\E$ sont orthogonaux, si et seulement si, 
\[\left\|x+y\right\|^2 = \left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2\]
\end{theo}

%%% 55
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel et $\left\langle \bullet, \bullet \right\rangle$ un produit scalaire sur $\E$. Soit $\left\|\bullet\right\|$ la norme associée au produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. Soit $\Big(e_1, e_2, ..., e_n\Big)$ une famille de $n$ vecteurs de $\E$. On dit que la famille de est orthogonale si les $e_i$ sont orthogonaux deux à deux et donc si $\left\langle e_i, e_j\right\rangle=0$ pour tout $i\neq j$. La famille est dite orthonormale si, en plus, $\left\|e_i\right\|=1$ pour tout $i$.
\end{theo}

%%% 56
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$ et $\Big(e_1, ..., e_n\Big)$ une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Alors $\Big(e_1, ..., e_n\Big)$ est une famille libre.
\end{theo}

%%% 57
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. Alors toute famille orthogonale de vecteurs non nuls composée de précisement $n$ vecteurs est une base de $\E$.\\
En particulier, une famille orthonormale composée de $n$ vecteurs est une base de $\E$.
\end{theo}

%%% 58
\begin{theo}
Tout espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire possède une base orthogonale pour ce produit scalaire.
\end{theo}

%%% 59
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. Toute famille orthonormale $\Big(e_1,..., e_k\Big)$ de $\E$ se complète en une base $\Big(e_1, ...e_n\Big)$ de $\E$. A savoir, il existe $e_{k+1}, ..., e_{n}\in\E$ tel que $\Big(e_1, ..., e_k, e_{k+1},..., e_{n}\Big)$ est une base orthonormale de $\E$.
\end{theo}

%%% 60
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. Soit $\F$ un sous espace vectoriel de $\E$. L'orthogonal $\F^{\bot}$ de $\F$ pour $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$ est défini par 
\[\F^{\bot} = \Big\{x\in\E \mbox{ tel que } \forall y\in\F, \left\langle x, y\right\rangle= 0\Big\}\]
\end{defi}

%%% 61
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. Pour tout sous espace vectoriel $\F$ de $\E$ on a que $\E = F \oplus \F^{\bot}$.
\end{defi}

\section{Endomorphisme et matrices symétriques}

%%% 62
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Pour tout endomorphisme $\varphi \in\mbox{End}\Big(\E\Big)$ de $\E$, il existe un unique endomorphisme $\varphi^{*} \in\mbox{End}(\E)$ de $\E$, appelé adjoint de $\E$ qui vérifie que pour tout $x,y\in\E$
\[\left\langle \varphi(x),y\right\rangle = \left\langle x,\varphi^{*}(y)\right\rangle\]
\noindent Si $\mcal{B}$ est une base orthonormée de $\E$, alors $\varphi^{*}$ est caractérisé par le fait que $\mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}}(\varphi^{*}) = ^t \mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}}(\varphi)$,
où $\mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}}(\varphi)$ est la matrice de représentation de $\varphi$ dans $\mcal{B}$, $^t\mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}}(\varphi)$ est la transposée de cette matrice et $\mcal{M}_{\mcal{B},\mcal{B}}(\varphi^{*})$ est la matrice de représentation de $\varphi^{*}$ dans $\mcal{B}$. 
\end{theo}

%%% 63
\begin{defi}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. soit $\varphi\in\mbox{End}\Big(\E\Big)$ un endomorphisme de $\E$. On dit alors que $\varphi$ est diagonalisable si $\varphi = \varphi^{*}$ où $\varphi^{*}$ est l'adjoint de $\varphi$ pour $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. Donc $\varphi$ est dit symétrique (sous-entendu pour $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$) si $\left\langle\varphi(x),y\right\rangle=\left\langle x, \varphi(y)\right\rangle$ pour tout $x$ et $y$ de $\E$.
\end{defi}

%%% 64
\begin{theo}
Soient $\E$ un $\R-$espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$ et $\varphi \in\mbox{End}\Big(\E\Big)$ un endomorphisme de $\E$ dans une base orthonormale pour $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$. En d'autres termes, tout endomorphisme symétrique est diagonalisable et la base qui diagonalise l'endomorphisme peut être choisie orthogonale. 
\end{theo}

%%% 65
\begin{theo}
Soit $\E$ un $\R-$espace vectoriel d'un produit scalaire $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$ et soit $\varphi\in\mbox{End}\Big(\E\Big)$. Si $\varphi$ est symétrique alors $\varphi$ est diagonalisable qui est, en plus, dans une base diagonale pour $\left\langle \bullet, \bullet\right\rangle$.
\end{theo}

%%% 66
\begin{theo}
Soit $\matA$ une matrice carrée symétrique d'ordre $n$. Il existe alors une matrice orthogonale $\matP$ telle que $^t \matP\matA\matP$ est diagonale. En particulier $\matA$ est diagonalisable.
\end{theo}

%%% 67
\begin{defi}
$\matA$ est une matrice orthogonale si elle est telle que $^t \matA\matA =\mbox{\textbf{I}}_n$.
\end{defi}

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\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
