\documentclass[12pt]{article}
% Packages 
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						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
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						right=1.5cm,
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% Fin packages 

% Numérotation
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
% Fin numérotation

% Environnement
\newtheorem{exercice}{Exercice}
	\newenvironment{exo}
		{\begin{exercice}\normalfont} {\end{exercice}}
		
\newtheorem{corrige}{Corrigé}
	\newenvironment{corr}
		{\begin{corrige}\normalfont} {\end{corrige}}

\newtheorem{methode}{Méthode}
	\newenvironment{modo}
		{\begin{methode}\normalfont}	{\end{methode}}

\newtheorem{definition}{Définition}
	\newenvironment{defi}
		{\begin{definition}\normalfont}	{\end{definition}}
		
\newtheorem{theoreme}{Théorème}
	\newenvironment{theo}
		{\begin{theoreme}\normalfont}	{\end{theoreme}}
% Fin environnement

% Ensembles
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}  % L'ensemble des réels
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}  % L'ensemble des Entiers
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}  % L'ensemble des rationnels
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}  % L'ensemble des relatifs
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}  %	L'ensemble des complexes
\newcommand{\F}{{\mathbb F}}  % L'ensemble F
\newcommand{\I}{{\mathbb I}}  % L'ensemble I
\newcommand{\K}{{\mathbb K}}  % L'ensemble K
\newcommand{\E}{{\mathbb E}}  % L'ensemble E
% Fin ensembles

% Symboles 
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\dron}{\partial}						% Dérivées partielles
	\newcommand{\dive}{{\mbox{div}}}  			% Divergence
	\newcommand{\rot}{{\mbox{\vect{rot}}}}  % Rotationnel
	\newcommand{\im}[1]{\mbox{Im}(#1)}
	\newcommand{\mcal}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits}
% Fin symboles

% Autres
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout
% Fin Autres

% Mes fonctions
	\newcommand{\titre}[1]{
		\begin{center}
			\Huge \textbf{#1}
		\end{center}
	}
% Fin fonctions

% Entête
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Algèbre bilinéaire}}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{12.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}							
    \fancyhead[L]{}
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    }
	\linespread{1.4}
% Fin entête

% Auteur 
	\newcommand{\auteur}{
		\begin{flushright}
		\href{http://prepamp.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
		\end{flushright}
	}	
% Auteur

\begin{document}

\titre{Exercices intéressants}

%% Exercice 1
\begin{exo}
Soient $\E = \R_{n}[X]$ et $I(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}t^{n}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt$
\begin{enumerate}
	\item Montrer que l'intégrale $I(n)$ est convergente. Que vaut $I(2p+1)$ ?\\
	Soit $\varphi \,:\, \E \longrightarrow \R$ définie par $\varphi(P,Q) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt$
	\item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire.
	\item On suppose $n=2$. Ecrire la matrice assosié à $\varphi$ dans la base $\Big(1,X,X^2\Big)$. Construire une base orthonormale de $\Big(P_0, P_1, P_2\Big)$ par le procédé d'orthogonlisation de Gram-Schmidt appliqué à $\Big(1,X,X^2\Big)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%% Exercice 2
\begin{exo}
On munit le $\R-$espace vectoriel $\R_2[X]$ du produit scalaire définit par
\begin{align*}
\varphi &\, :\,\R_{2}[X] \longrightarrow \R_{2}[X]\\
			    & (P,Q)\longmapsto \int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt
\end{align*}	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de $\R_{2}[X]$.
	\item Déterminer la distance du polynôme $P = X^2+X+1$ au sous-espace vectoriel $\F$ de $\R_{2}[X]$ formé par des polynomes $f$ tels que $f'(0)=0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%% Exercice 3
\begin{exo}
Soit $f:\R^3\times\R^3\to \R$ d\'efinie de la
mani\`ere suivante : si $u=(x,y,z)$ et
$u'=(x',y',z')$ alors
\[{f(u,u')=2xx'+yy'+2zz'+xy'+yx'+xz'+zx'+yz'+zy'.}\]
\begin{enumerate}
    \item  Montrer que $f$ est un produit scalaire sur l'espace vectoriel canonique $\R^3$.
    \item  Soit $P$ le sous-espace vectoriel de $\R^3$ d'\'equation cart\'esienne $2x-y+z=0$.
    \begin{enumerate}
        \item D\'eterminer l'orthogonal du sous-espace vectoriel $P$.
        \item D\'eterminer un sous-espace vectoriel de $\R^3$ dont l'orthogonal est $P$.
    \end{enumerate}
    \item  D\'eterminer l'orthonormalis\'ee de Gram-Schmidt de la base canonique de $\R^3$  pour $f$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%% Exercice 4
\begin{exo}
Orthonormaliser dans $\R^{3}$ la famille $x_{1} = (1, -2, 2)$, $x_{2} = (-1, 0, -1)$,
$x_{3} = (5, -3, 7)$.
\end{exo}

%% Exercice 5
\begin{exo}
Soit $  m \in \R   $ et $  A(m)\in \mcal{M}_3 (\R )  $
la matrice $  \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \cr
                                      1 & m & 1 \cr
                         1 & 1 & m\cr \end{pmatrix} .$
\begin{enumerate}
    \item Calculer les valeurs propres de $  A(m)  $ et une base de vecteurs propres.
    \item D\'eterminer suivant les valeurs de $  m  $ le rang de $  A(m)  .$ D\'eterminer lorsque  cela est possible $A^{-1}(m)$.
    \item Lorsque $  A(m)  $ n'est pas inversible d\'eterminer le noyau et l'image de $A(m).$
\end{enumerate}
\end{exo}

%% Exercice 6
\begin{exo}
Pour quelles valeurs de $a$, $b$ et $c$ les matrices suivantes sont-elles diagonalisables
?
\[
 \begin{pmatrix}
   1 & a & 1 \\
   0 & 1 & b \\
   0 & 0 & c
 \end{pmatrix}
\hspace{3cm}
 \begin{pmatrix}
   0 & 0 & a \\
   0 & 0 & b \\
   a & b & c
 \end{pmatrix}
\]
\end{exo} 

%% Exercice 7
\begin{exo}
Soit $A$ la matrice $A=
  \begin{pmatrix}
    1&-1&-1\\
   -1& 1&-1\\
   -1&-1& 1
  \end{pmatrix}
  $.
  \begin{enumerate}
  \item 
    Calculer $^{t}\!A$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable~? 
  \item
    Diagonaliser $A$.
  \item
    Diagonaliser $A$ dans une base orthonormée (pour le produit scalaire
    usuel de $\R^{3}$).
  \end{enumerate}
\end{exo}

%% Exercice 8
\begin{exo}
Soit $\Big(\E,\cdot\Big)$ un espace vectoriel euclidien de dimension $3$ et $\mcal{B}=\Big(a,b,c\Big)$ une base orthonormée directe de $\E$.
Soit $\varphi \in\mcal{L}(\E)$. Identifier $\varphi$ lorsque sa matrice dans la base $\mcal{B}$ est 
\[
A = \frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 2 
\end{pmatrix}
\]
\end{exo}

%% Exercice 9
\begin{exo}
Soit $\Big(\E,\cdot\Big)$ un espace vectoriel euclidien de dimension $3$ et $\mcal{B}=\Big(a,b,c\Big)$ une base orthonormée directe de $\E$.
Soit $\varphi \in\mcal{L}(\E)$. Identifier $\varphi$ lorsque sa matrice dans la base $\mcal{B}$ est 
\[
A = \frac{1}{9}
\begin{pmatrix}
7 & -4 & -4 \\
-4 & 1 & -8 \\
-4 & -8 & 1 
\end{pmatrix}
\]
\end{exo}

\newpage

\begin{corr}
 \begin{enumerate}
  \item 
    $^{t}\!A=A$ donc $A$ est diagonalisable dans une base
    orthonormée.

  \item
    Par exemple~: $P=
    \begin{pmatrix}
      1& 1& 1\\
      1&-1& 0\\
      1& 0&-1
    \end{pmatrix}
$, $P^{-1}AP=
\begin{pmatrix}
  -1& 0& 0\\
   0& 2& 0\\
   0& 0& 2
 \end{pmatrix}
$.

 \item
   $Q=
   \begin{pmatrix}
     1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\
     1/\sqrt{3} &-1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\
     1/\sqrt{3} &          0 &-2/\sqrt{6} 
   \end{pmatrix}
$, $Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}
  -1& 0& 0\\
   0& 2& 0\\
   0& 0& 2
 \end{pmatrix}
$ et $^tQ=Q^{-1}$
  \end{enumerate}
\end{corr}

\begin{corr}
\end{corr}

\begin{corr}
\end{corr}

\begin{corr}
\end{corr}

\begin{corr}
\end{corr}

\begin{corr}
\end{corr}


\begin{corr}
\end{corr}

%% Corrigé 8
\begin{corr}
\begin{itemize}
	\item En vérifie facilement que $^tAA = I_3$. Donc $A$ est orthogonale.
	\item De plus, le $\mbox{det}(A)=1$. Donc $\varphi$ est une rotation vectorielle.
	\item Soit $\mcal{D} = \Big\{x\in\E \mbox{ tel que } \varphi(x)=x\Big\}$, alors 
	\[AX=X \Longleftrightarrow 
	\left\{
	\begin{array}{ccccccc}
	2x  &+& 2y &+& z  &=& 3x \\
	-2x &+& y  &+& 2z &=& 3y \\
	x   &-& 2y &+& 2z &=& 3z
	\end{array}
	\right.
	\Longleftrightarrow
	z-x=0
	\]
	Donc $\mcal{D} = \mbox{Vect}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$. Notons $u = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
	\item Déterminons l'angle $\theta \,[2\pi]$ de cette rotation. On a que 
	\[\mbox{Tr}(A)= 2\cos\theta +1 = \frac{5}{3}\Longleftrightarrow \cos\theta = \frac{1}{3}\]
	\item Cherchons le signe de $\sin\theta$. Alors $\mathrm{Sg}\Big(\sin\theta\Big)=\mathrm{Sg}\Big[\mbox{det}_{\mcal{B}}\Big(\alpha, \varphi(\alpha), u\Big)\Big]$ où $\alpha \notin \mcal{D}$.\\
	On choisit $\alpha = a = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et on calcule
	\[
	\left|
	\begin{array}{ccc}
	1 & 2/3  & 1 \\
	0 & -2/3 & 0 \\
	0 & 1/3  & 1  
	\end{array}
	\right|
	=-\frac{2}{3}<0 \Longrightarrow \mathrm{Sg}\Big(\sin\theta\Big) = -1
	\]
	On obtient alors $\sin\theta = -\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
	\item \textbf{Conclusion :}  $\varphi$ est une \textbf{rotation vectorielle} d'angle $\theta\, [2\pi]$, d'axe $\mcal{D}$ dirigée par $u=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ dans la base $\mcal{B}$ avec 
	\[
	\cos\theta = \frac{1}{3}\quad \mbox{ et }\quad \sin\theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
	\]
\end{itemize}
\end{corr}

%% Corrigé 9
\begin{corr}
\begin{itemize}
	\item En vérifie facilement que $^tAA = I_3$. Donc $A$ est orthogonale.
	\item De plus, le $\mbox{det}(A)=-1$.
	\item Cherchons $\mcal{D} = \Big\{x\in\E \mbox{ tel que } \varphi(x)=x\Big\}$, alors 
	\[AX=X \Longleftrightarrow 
	\left\{
	\begin{array}{ccccccc}
	7x  &-& 2y &-& 4z &=& 9x \\
	-4x &+& y  &-& 8z &=& 9y \\
	-4x &-& 8y &-& z  &=& 9z
	\end{array}
	\right.
	\Longleftrightarrow
	x+2y+2z=0
	\]
	\item \textbf{Conclusion :} $\mcal{D}$ est de dimension $2$. Donc $\varphi$ est une \textbf{symétrie orthogonale} par rapport au plan d'équation $\mcal{D}$, dans la base $\mcal{B}$. 
\end{itemize}
\end{corr}

\auteur

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}

