\documentclass[12pt]{article}
% Packages 
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						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
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						right=1.5cm,
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Fin packages 

% Numérotation
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
% Fin numérotation

% Environnement
\newtheorem{exercice}{Exercice}
	\newenvironment{exo}
		{\begin{exercice}\normalfont} {\end{exercice}}
		
\newtheorem{corrige}{Corrigé}
	\newenvironment{corr}
		{\begin{corrige}\normalfont} {\end{corrige}}

\newtheorem{methode}{Méthode}
	\newenvironment{modo}
		{\begin{methode}\normalfont}	{\end{methode}}

\newtheorem{definition}{Définition}
	\newenvironment{defi}
		{\begin{definition}\normalfont}	{\end{definition}}
		
\newtheorem{theoreme}{Théorème}
	\newenvironment{theo}
		{\begin{theoreme}\normalfont}	{\end{theoreme}}
% Fin environnement

% Ensembles
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}  % L'ensemble des réels
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}  % L'ensemble des Entiers
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\newcommand{\E}{{\mathbb E}}  % L'ensemble E
\newcommand{\U}{{\mathbb U}}  % L'ensemble U
% Fin ensembles

% Symboles 
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\dron}{\partial}						% Dérivées partielles
	\newcommand{\dive}{{\mbox{div}}}  			% Divergence
	\newcommand{\rot}{{\mbox{\vect{rot}}}}  % Rotationnel
	\newcommand{\im}[1]{\mbox{Im}(#1)}
	\newcommand{\mcal}[1]{\mathcal{#1}}
% Fin symboles

% Autres
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout
% Fin Autres

% Mes fonctions
	\newcommand{\titre}[1]{
		\begin{center}
			\Huge \textbf{#1}
		\end{center}
	}
% Fin fonctions

% Entête
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Intégration : Révisions (Session 1 - 2007)}}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{12.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}							
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
% Fin entête

% Auteur 
	\newcommand{\auteur}{
		\begin{flushright}
		\href{http://prepamp.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
		\end{flushright}
	}	
% Auteur

\begin{document}

Le sujet est à voir ici \href{http://www.u-cergy.fr/rech/pages/courilleau/Sources/cours06_07/Session1_2007.pdf}{http://www.u-cergy.fr/rech/...}

\begin{corr}
\begin{enumerate}
	Etude de $\Omega$.
	\item 
	\begin{itemize}
		\item[(a)] Pour $k>0$, $\Gamma_k$ sont des ellipses de centre $(0,0)$ et d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$.
		\item[(b)] Le dessin de $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ et $\Omega$. $\Omega$ est la partie qui n'est pas hachurée en vert.
		\begin{center}
		\pspicture(-1,-4)(4,4)
		  		\psaxes{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
		  		\psellipse[fillstyle=vlines, hatchangle=-50, hatchcolor=green](0,0)(0.5,1)
		  		\psellipse[fillstyle=hlines, hatchangle=50, hatchcolor=red](0,0)(1.5,3)
		  		\rput(0.65,1.5){$\Omega$}
				\endpspicture
		\end{center}
		\item[(c)] Pour toute fonction $f$ définie sur $\R^{2}$ on a :
		\[\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy = \iint_{\Omega_3}f(x,y)dxdy - \iint_{\Omega_1}f(x,y)dxdy\]   
	\end{itemize}
	\item Calcul de $J = \iint_{\Omega_1}\sqrt{4x^2+y^2}dxdy$.
	\begin{itemize}
		\item[(a)] C'est du cours. La formule : $\int_{\Gamma_k^{+}}\omega = \iint_{\Omega_k}\left(\frac{\dron Q}{\dron x}-\frac{\dron P}{\dron y}\right)(x,y)dxdy$
		\item[(b)] Soit $\omega(x,y) =P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ une forme différentielle de classe $\mcal{C}^1$. Où 
		\[P(x,y) = -\frac{1}{3}y\sqrt{4x^2+y^2} \quad \mbox{ et }\quad Q(x,y) = \frac{1}{3}x\sqrt{4x^2+y^2}\] 
		En calculant $\frac{\dron P}{\dron y}(x,y)$ et $\frac{\dron Q}{\dron x}(x,y)$ on obtient 
		\[\frac{\dron P}{\dron y}(x,y) =-\frac{1}{3}\left( \sqrt{4x^2+y^2}+\frac{y^2}{\sqrt{4y^2+x^2}}\right) \quad \mbox{ et }\quad \frac{\dron Q}{\dron x}(x,y) =\frac{1}{3}\left( \sqrt{4x^2+y^2}+\frac{4x^2}{\sqrt{4y^2+x^2}}\right)\]
		Et donc 
		\[\left(\frac{\dron Q}{\dron x}-\frac{\dron P}{\dron y}\right)(x,y) = \sqrt{4x^2+y^2}\]
		Donc on a bien $J=\int_{\Gamma_{1}^{+}}\omega$.
		\item[(c)] On peut choisir comme paramétrage 
		\[
		\left\{
		\begin{array}{lll}
		x(t) & = & \frac{1}{2}\cos t\\
		y(t) & = & \sin t
		\end{array}
		\right.
		\qquad \mbox{ avec }\quad  0 \le t \le 2\pi
		\]
		\item[(d)] Calculons $J$.
		\[J = \frac{1}{3} \int_{0}^{2\pi}\left(-\sin t \sqrt{\cos^{2}t+\sin^2 t}\left(-\frac{1}{2}\sin t\right)+\frac{1}{2}\cos t \sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}\left(\cos t\right)\right)dt= \frac{\pi}{3} \]
	\end{itemize}
	\item Calcul de $K = \iint_{\Omega_3}\sqrt{4x^{2}+y^{2}}dxdy$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item[(a)] C'est du cours.
		\item[(b)] Je ne sais pas encore faire. Cependant je peux calculer le déterminant. On pose $u=2x$ et $v = y$ alors 
		\[
		\frac{1}{J_{F}(x,y)} = \frac{D(u,v)}{D(x,y)} = 
		\left|
		\begin{array}{ll}
		\frac{\dron u}{\dron x}\hspace{0.2cm} & \frac{\dron u}{\dron y} \vspace{0.3cm}\\
		\frac{\dron v}{\dron x} & \frac{\dron v}{\dron y}
		\end{array}
		\right|
		=
		\left|
		\begin{array}{ll}
		2 & x \\
		0 & 1
		\end{array}
		\right| = 2
		\]
		\item[(c)] En appliquant le théorème de changement de variable en dimension 2. On obtient : 
		\[K = \iint_{\Omega_3}\sqrt{4x^{2}+y^{2}}dxdy=\iint_{B(0,3)}\sqrt{{u^2}+v^{2}}\left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right|dudv= \frac{1}{2} \iint_{B(0,3)}\sqrt{u^{2}+v^{2}}dudv\]
		\item[(d)]La formule de changement de variable en polaire s'écrit 
		\[\left\{
		\begin{array}{lll}
		x(\rho, \theta) & = & \rho \cos\theta \\
		y(\rho, \theta) & = & \rho \sin\theta
		\end{array}
		\right.
		\qquad \mbox{ avec } 0 \le \rho \le 3 \mbox{ et } 0 \le \theta \le 2\pi 
		\]
		Rappelons que le jacobien est $\rho$.
		\item[(e)] Calculons $K$ en utilisant le changement de variable précédent :
		\[K =\frac{1}{2}\iint_{[0,3]\times [0,2\pi]}\sqrt{\rho^{2}\cos^2\theta+\rho^{2}\sin^2\theta}\rho d\rho d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{3}\rho^2 d\rho\right)d\theta=9\pi\]
		\end{enumerate}
		\item D'après $1.(c)$, on a $I = 9\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{26}{3}\pi$.
\end{enumerate}
\end{corr}

\begin{corr}
Pour tout $n\in\N^{*}$, on définit les intégrales suivantes 
\[I_n = \iiint_{\Omega_n}\left(\cos(z)-\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)\right)dxdydz\]
avec $\Omega_n= \left\{(x,y,z)\in\R^{3}, 0 < x < 1,\; \frac{1}{n}<y<n,\; 0<yz<x^{2}\right\}$.
\begin{enumerate}
	\item C'est du cours.
	\item En applicant le théorème de Fubini, on a 
	\begin{eqnarray*}
	I_n  & = & \iiint_{\left[0,1\right] \times \left[\frac{1}{n}, n\right] \times \left[0,\frac{x^2}{y}\right]}\left(\cos(z)-\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)\right)dxdydz\\
	 & = &\int_{0}^{1}\left[\int_{\frac{1}{n}}^{n}\left(\int_{0}^{\frac{x^2}{y}}\cos(z)-\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)dz\right)dy\right]dx \\
	 & = & \int_{0}^{1}\left[\int_{\frac{1}{n}}^{n}\left(\left[\sin(z)-z\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)\right]_{0}^{\frac{x^2}{y}}\right)dy\right]dx \\
	 & = & \int_{0}^{1}\left[\int_{\frac{1}{n}}^{n}\left(\sin\left(\frac{x^2}{y}\right)-\frac{x^2}{y}\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)\right)dy\right]dx \\ 
	\end{eqnarray*}
	\item Soit $h:\, y\to y\sin\left(\frac{x^{2}}{y}\right)$. En calculant $h^{'}(y)$ on obtient
	\[h'(y)=\sin\left(\frac{x^{2}}{y}\right)+y\left(-\frac{x^2}{y^2}\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)\right)=\sin\left(\frac{x^{2}}{y}\right)-\frac{x^2}{y}\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)\]
	Ainsi  $\int_{\frac{1}{n}}^{n}\left(\sin\left(\frac{x^2}{y}\right)-\frac{x^2}{y}\cos\left(\frac{x^2}{y}\right)\right)dy=\left[h(y)\right]_{\frac{1}{n}}^{n}=n\sin\left(\frac{x^2}{n}\right)-\frac{1}{n}\sin\left(nx^{2}\right)$, donc 
	\[I_n = \int_{0}^{1}\left(n\sin\left(\frac{x^2}{n}\right)-\frac{1}{n}\sin\left(nx^{2}\right)\right)dx\]
	\item On pose $f_n(x)=n\sin\left(\frac{x^2}{n}\right)-\frac{1}{n}\sin\left(nx^{2}\right)$.
\begin{itemize}
	\item[(a)] On pose $X = \frac{x^2}{n}$ et notons que $X\to 0$ quand $n\to+\infty$. \\Alors $f_n(x)=x^2\left(\frac{\sin X}{X} \right)-X\left[\frac{1}{x^2}\sin\left(\frac{x^2}{X}\right)\right]$, donc 
	\[\lim_{n\to+\infty}f_n(x)=\lim_{X\to 0}\left(x^2\left(\frac{\sin X}{X} \right)-X\left[\frac{1}{x^2}\sin\left(\frac{x^2}{X}\right)\right]\right)=x^2\]
	Donc $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers $f\, :\, x\to x^2$.
	\item[(b)] On a :
\begin{itemize}
	\item Les $(f_n)$ sont continue sur continue sur $\R$,
	\item $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f$ qui est continue sur $\R$,
	\item De plus pour tout $x\in\R, \forall n\in \N^{*}$, on a 	\[\left|f_n(x)\right|= \left|n\sin\left(\frac{x^2}{n}\right)-\frac{1}{n}\sin\left(nx^{2}\right)\right|\le 2x^2\in\mcal{C}^{0}(\R) \quad \mbox{ et } \quad \int_{0}^{1}2x^{2}dx\quad \mbox{ converge}\]
	D'après le théorème de la convergence dominé, on a $\forall n\in\N^{*}, I_n$ est absolument convergente, donc convergente, ainsi que $I_n=\int_{0}^{1}f_n(x)dx=\int_{0}^{1}\lim_{n\to+\infty}\Big(f_n(x)\Big)dx = \int_{0}^{1}x^{2}=\frac{1}{3}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{corr}

\begin{corr}
Soit $f(x,t)=\frac{\sin(xt^{2})}{1+t^{2}}$ une fonction définie sur $\R^2$.
\begin{enumerate}\item 
\begin{itemize}
	\item Pour tout $t\in\R, \; x\to f(x,t)$ continue sur le $\R$ car $t^2+1>0$.
	\item Pour tout $x\in\R, \; t\to f(x,t)$ continue sur le $\R$ car $t^2+1>0$.
	\item De plus, pour tout $x,y\in\R$, il existe une fonction telle que 
	\[\Big|f(x,t)\Big|\le \frac{1}{1+t^{2}}\quad \mbox{ et } \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^{2}} \mbox{ converge}\]
\end{itemize}
Donc $F$ est définie et continue sur $\R$.
\item Déjà répondu. 
\item
\begin{itemize}
	\item On a vu dans la question précédente que $F$ est bien définie sur $\R$.
	\item Pour tout $x\in\R, \; t\to \frac{\dron f}{\dron t}(x,t)$ continue sur le $\R$ car $t^2+1>0$.
	\item Pour tout $t\in\R, \; x\to \frac{\dron f}{\dron x}(x,t)$ continue sur le $\R$ car $t^2+1>0$.
\item De plus, pour tout $x,t\in\R$,
	\[\left|\frac{\dron f}{\dron x}(x,t)\right| = \left|\frac{t^2}{1+t^{2}}\times \cos(xt^2)\right| \le \frac{t^2}{1+t^{2}}\]
	Or $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{t^2}{1+t^{2}}dt$ diverge. La condition de domination n'est pas satisfaite. \\
	Donc le théorème de dérivabilité ne s'applique pas.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{corr}



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%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}