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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% PREAMBULE %%%%
\documentclass{article}

%%%% LES PACKAGES %%%%%
\usepackage[french]{babel}								% Francisation
\usepackage{amsmath,amsfonts, esint}			% Les symboles 
\usepackage{thmbox}												% Les théorèmes
\usepackage{multicol}											% Les colonnes 
\usepackage[ansinew, latin1]{inputenc}		% Les accents
\usepackage{fancyhdr}											% Numérotation des pages ...
\usepackage{graphicx}											% Les images 
\usepackage{floatrow} 										% Légender les dessins ...
\usepackage{cancel}												% Rayer une expression 
\usepackage[colorlinks=true,
						menucolor=red,
						breaklinks=true,
						urlcolor=blue,
						linkcolor=blue]{hyperref}			% Les liens 
\usepackage[left=1cm,
						right=1.5cm,
						top=1cm,
						bottom=1cm]{geometry}					% Les dimensions 
\usepackage{pstricks, pstricks-add}				% 
\usepackage{pst-node}											% Les points  
\usepackage{pst-plot}											% Dessiner les fonctions  
\usepackage{pst-tree}											% Les arbres ponderées  
\usepackage{pst-circ}											% Les circuits électriques 
%%%% FIN PACKAGES  %%%%%

%%%% MES SPEFICATIONS %%%%%
	\newtheorem{theo}{Théorème}[section]		% Théorèmes
	\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}			% Corollaire
	\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}					% Lemme
	\newtheorem{fact}[theo]{Fait}						% Fait
	\newtheorem{defi}[theo]{Définition}			% Définition
	\newtheorem{exmp}[theo]{Exemple}				% Exemple
	\newtheorem{corr}{Corrigé}							% Corrigé
	\newtheorem{exo}{Exercice}							% Exercice
	\newtheorem{rgl}[theo]{Règle}						% Règle
	\newtheorem{modo}{Méthode}							% Méthode
	\newtheorem{Rq}{Remarque}							% Méthode	
	\everymath{\displaystyle}								% Maths Style partout

	\newcommand{\R}{{\mathbb R}}						% L'ensemble des réels
	\newcommand{\N}{{\mathbb N}}						% L'ensemble des Entiers
	\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}						% L'ensemble des rationnels
	\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}						% L'ensemble des relatifs
	\newcommand{\C}{{\mathbb C}}						%	L'ensemble des complexes
	\newcommand{\F}{{\mathbb F}}						% L'ensemble F
	\newcommand{\I}{{\mathbb I}}						% L'ensemble I
	\newcommand{\K}{{\mathbb K}}						% L'ensemble K
	
	\newcommand{\al}{\alpha}								% alpha
	\newcommand{\be}{\beta}									% beta
	\newcommand{\del}{\delta}								% delta
	\newcommand{\eps}{\epsilon}							% epsilon
	\newcommand{\ssiP}{\Leftrightarrow}			% si et seulement si : petite	
	\newcommand{\ssiG}{\Longleftrightarrow}	% si et seulement si : grande
	\newcommand{\impP}{\Rightarrow}					% implication : petite
	\newcommand{\impG}{\Longrightarrow}			% implication : grande
	\newcommand{\donneP}{\mapsto}						% donne : petite
	\newcommand{\donneG}{\longmapsto}				% donne : grande
	\newcommand{\conv}{\rightarrow}					% converge : petite 
	\newcommand{\conV}{\longrightarrow}			% converge : grande
	%\newcommand{\di}{\displaystyle}				% mise en forme maths 
	\newcommand{\vect}{\overrightarrow}			% pour l'écriture des vecteurs
	\newcommand{\oo}{\infty}								% Infini
	\newcommand{\cad}{c'est-à-dire}					% C'est-à-dire
	\newcommand{\pal}{\partial}							% Dérivées partielles
	
	\newcommand{\moi}{
	\begin{flushright}
	\href{http://mp.ensi.free.fr}{\textsc{--- Mohammed EL BACHIR ---}}
	\end{flushright}
	}	
	
	% L'entête de mon document %
	\pagestyle{fancy} \fancyhf{}
	\fancyhead[R]{\thepage}
	\fancyhead[L]{\textbf{Titre par exemple}}													%\footnotesize{\leftmark}
	\renewcommand{\headrulewidth}{0.3pt}
	\addtolength{\headheight}{0.3pt}
	\fancypagestyle{plain}{
    \fancyhead[R]{\thepage}								% Le numéro de page à droite
    \fancyhead[L]{}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    }
	\linespread{1.4}
	
%%%% FIN COMMANDES %%%%%

\begin{document}
%%%% CONTENU     %%%%%

\begin{center}
\huge \textbf{Phénomènes de transport}
\end{center}


\section{Généralité et Rappels}
\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent 
L'équation des Gaz Parfaits s'écrit : 
\[PV=nRT=xRT=\frac{N}{N_a}RT\]
Il faut noter que $N=x N_a$ le nombre de particules et que $x=n$ pour éviter la confusion dans la suite du document.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent 
L'équation fondamentale de la statique des fluides s'écrit : 
\[\frac{dP}{dz}=-\rho g \]
Avec $z$ est orienté vers le haut. $\rho$ est la masse volumique $\rho =\frac{m}{V}$.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent 
Pour les Gaz monoatomique on a : 
\[P = \frac{1}{3} m n \left\langle v^2\right\rangle=\frac{1}{3} m n u^2\]
Où $m$ est la masse de la particule et $u$ sa vitesse quadratique.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent 
La pression est définie par 
\[P=\frac{F}{S}\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent L'énergie cinétique moyenne pour Gaz parfait monoatomique s'écrit : 
\[\left\langle E_c\right\rangle=\frac{3}{2} xRT = \frac{3}{2} NkT\]  
En général, on a : 
\[\left\langle E_c\right\rangle=\frac{\ell}{2}xRT\]
Où $\ell$ est le degré de liberté.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent 
La vitesse moyenne quadratique s'écrit : 
\[\left\langle E_c\right\rangle=\frac{1}{2}mN u^2=\frac{3}{2}xRT=\frac{3}{2}NkT \Longrightarrow u = \sqrt{\frac{3kT}{m N}}=\sqrt{\frac{3NRT}{mN}}\]
\end{Rq}
\newpage

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent 
La vitesse moyenne s'écrit : 
\[\left\langle v\right\rangle=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi M}}\]
\end{Rq}

\section{Diffusion de particules}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
Les équations de diffusion obéissent à la même équation différentielle qui est de la forme : 
\[\frac{\pal G}{\pal t} = D \times \frac{\pal^2 G}{\pal x^2}\]
Où $G$ est une grandeur physique et $D$ un coefficient de diffusion.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
Le \textbf{flux de particules} s'écrit :
\[\Phi_{part}=\frac{dN}{dt}=\iint_S\vect{j}_{part}\vect{dS}\] 
Ou $dN$ ebst le nombre de particules traversant la surface $S$ pendent $dt$ et $\vect{j}_{path}$ la densité de courant de particules s'exprimant en $m^{-2}s^{-1}$.
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
La loi expérimentale de Fick s'écrit : 
\[\vect{j}_{part}=-D \times\vect{\mbox{grad}}n\] 
$D$ est un coefficient de diffusion positif et $n$ la densite de particules. \\
Cette loi, à une dimension, s'écrit : 
\[\vect{j}_{part}(x,t) = -D \times\frac{\pal n}{\pal x}(x,t) \]
La densité du courant est suivant $x$. 
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
La \textbf{conservation du nombre de particules} peut s'exprimer : 
\[\frac{\pal n}{\pal t} \Big)_{x}  = - \frac{\pal j_{part}}{\pal x}\Big)_{t}\]

\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
L'équation de diffusion sans apport à une dimension s'écrit : 
\[\frac{\pal n}{\pal t}   = D\times  \frac{\pal^2 n}{\pal x^2}\]
Et lorsqu'il y a apport, elle devient 
\[\frac{\pal n}{\pal t}   = D\times \frac{\pal^2 n}{\pal x^2}+\sigma_a\]
Si $\sigma_a>0$ alors il s'agit d'une création de particules alors si $\sigma_a<0$ il s'agira plutôt d'une absorption de particules.
\\
Dans le cas général, \cad, lorsque la diffusion se fait à trois dimensions, on a plutôt :
\[\frac{\pal n}{\pal t}   = D \times \Delta n + \sigma_a\]
Où $\Delta$ est le Laplacien qui est $\Delta = \frac{\pal^2}{\pal x^2}+\frac{\pal^2}{\pal y^2}+\frac{\pal^2}{\pal z^2}$ pour les coordonnées cartésiennes.
\end{Rq}

\section{Transferts thermiques}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
La chaleur massique est définie par 
\[\delta Q = mCdt\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
Le flux thermique est définit par :
\[ \Phi_{th}= \frac{\delta Q}{dt}=\iint_{S}\vect{j}_{th}dS\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
La loi de Fourier s'écrit : 
\[ \vect{j}_{th}=-K\times \vect{\mbox{grad}}T\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
La loi de conservation de chaleur s'écrit : 
\[ \rho c\times \frac{\pal T}{\pal t}\Big)_{x} =-\frac{\pal \vect{j}_{th}}{\pal x}\Big)_{t}+\mathcal{P}_v\]
\end{Rq}

\begin{Rq}
\normalfont
\large
\noindent
L'équation de diffusion de chaleur s'écrit :
\[ \rho c\times \frac{\pal T}{\pal t}= K\times \frac{\pal^2 T}{\pal^2 x^2} +\mathcal{P}_{v}\]
\end{Rq}

\moi

%% Plusieurs paragraphes ?
%\newpage 
%\tableofcontents
%%%% FIN CONTENU %%%%%

\end{document}
